В параллелограмме ABCD точки M и K были отмечены на диагонали BD так, что угол BAM равен углу DCK (точка M расположена

Rodion

58

Рассмотрим параллелограмм ABCD с отмеченными точками M и K на диагонали BD. Мы хотим доказать, что BM равно DK.

Чтобы начать доказательство, обратим внимание на пары углов, которые равны друг другу: угол BAM и угол DCK. Поскольку параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, наши пары углов могут быть несмежными, но они равны.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Углы ABM и BAM являются смежными углами (они лежат по одну сторону от отрезка BM), поэтому они в сумме дают 180 градусов. Аналогичным образом, углы BDM и DCK являются смежными углами и также в сумме дают 180 градусов.

Теперь обратимся к треугольникам ABM и BDM. У них есть общая сторона BM и две пары смежных равных углов (ABM и BAM, а также BDM и DCK). Мы можем заключить, что треугольники ABM и BDM являются подобными по принципу углы-углы-углы (AA).

Таким образом, соответствующие стороны этих треугольников также пропорциональны. Соответствующие стороны AB и BD имеют одинаковое отношение к сторонам AM и DM соответственно. Пусть это отношение будет k.

Мы знаем, что AM + BM = AB, так как точка M находится на диагонали BD параллелограмма ABCD. Заменяя AB на k * AM и BM на k * DM, получаем следующее:

k * AM + k * DM = k * AM + k * BM.

Поскольку AM присутствует в обоих частях уравнения, его можно отменить:

k * DM = k * BM.

Теперь разделим обе части равенства на k. Получаем:

DM = BM.

Таким образом, мы доказали, что BM равно DM, что и требовалось доказать.

На чертеже видно, что BM и DM являются диагоналями параллелограмма ABCD, а значит, они имеют равные длины.