В шкафу на кафедре математики хранится 30 рулонов, содержащих свернутые плакаты. Из них 15 рулонов предназначены

Звездочка_6454

65

Для решения данной задачи нам необходимо использовать понятие вероятности и комбинаторику. По условию задачи имеется 30 рулонов в шкафу, из которых 15 рулонов предназначены для аналитической геометрии, а 10 рулонов – для математического анализа.

а) Найдем вероятность того, что среди выбранных 5 рулонов будет 3 рулона с плакатами по аналитической геометрии. Для этого воспользуемся комбинаторной формулой. Обозначим вероятность выбора рулона с плакатом по аналитической геометрии как \(P(A)\), а вероятность выбора рулона с плакатом по математическому анализу как \(P(B)\).

Таким образом, вероятность выбора 3 рулонов с плакатами по аналитической геометрии и 2 рулонов без них можно рассчитать по формуле:

\[
P = C(15, 3) \cdot C(15, 2) / C(30, 5)
\]

где \(C(n, k)\) - количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\).

Подставив значения, получим:

\[
P = \frac{{C(15, 3) \cdot C(15, 2)}}{{C(30, 5)}}
\]

Вычислим каждое значение отдельно:

\[
C(15, 3) = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 455
\]

\[
C(15, 2) = \frac{{15!}}{{2! \cdot (15-2)!}} = \frac{{15!}}{{2! \cdot 13!}} = \frac{{15 \cdot 14}}{{2 \cdot 1}} = 105
\]

\[
C(30, 5) = \frac{{30!}}{{5! \cdot (30-5)!}} = \frac{{30!}}{{5! \cdot 25!}} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 142506
\]

Подставим значения и вычислим вероятность:

\[
P = \frac{{455 \cdot 105}}{{142506}} \approx 0.1968
\]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных 5 рулонов будет 3 рулона с плакатами по аналитической геометрии, составляет около 0.1968 или около 19.68%.

б) Найдем вероятность того, что среди выбранных 5 рулонов будет 2 рулона с плакатами по аналитической геометрии и 2 рулона с плакатами по математическому анализу. Аналогично предыдущей части, воспользуемся комбинаторной формулой:

\[
P = \frac{{C(15, 2) \cdot C(10, 2)}}{{C(30, 5)}}
\]

Подставив значения и вычислив каждое значение отдельно, получим:

\[
C(15, 2) = 105
\]

\[
C(10, 2) = 45
\]

\[
C(30, 5) = 142506
\]

Вычислим вероятность:

\[
P = \frac{{105 \cdot 45}}{{142506}} \approx 0.0330
\]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных 5 рулонов будет 2 рулона с плакатами по аналитической геометрии и 2 рулона с плакатами по математическому анализу, составляет около 0.0330 или около 3.30%.