В треугольнике ABC установлены следующие значения сторон: AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 12 см. Точка M на стороне

Морозный_Полет

20

см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрис треугольника.

По условию, наш треугольник ABC имеет стороны AB = 6 см, BC = 8 см и AC = 12 см.
Также известно, что CM = 1 см.

Перейдем к поиску длины отрезка KS.
Так как точка K является точкой пересечения биссектрисы угла ACB с прямой, проходящей через M, то отношение длин отрезков AK и KC равно отношению длин отрезков AM и MC.
$$\frac{AK}{KC}=\frac{AM}{MC}$$
Подставим известные значения: $$\frac{AK}{KC}=\frac{AM}{1}$$

Осталось найти длину отрезка AM. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AMC.
Согласно теореме косинусов, квадрат длины стороны AM равен сумме квадратов длин сторон AC и CM, минус дважды произведение длин этих сторон на косинус угла MAC.
$$A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot \cos (\mathrm{\angle }MAC)$$

Треугольник ABC является прямоугольным, так как один из углов при основании равен 90 градусам.
Таким образом, $$\mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{180-\mathrm{\angle }ACB}{2}}=180-90=90$$

Подставим известные значения и рассчитаем длину отрезка AM:
$$A{M}^2={12}^2+1^2-2\cdot 12\cdot 1\cdot \cos (90)=144+1-24\cdot 1\cdot 0=144+1=145$$
$$AM=\sqrt{145}$$

Теперь, зная длину отрезка AM, можем вычислить длину отрезка AK:
$$\frac{AK}{KC}=\frac{\sqrt{145}}{1}$$
$$AK=\frac{\sqrt{145}}{1}\cdot KC$$

Осталось только найти длины отрезков KD и DB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
$$A{D}^2=A{K}^2+K{D}^2$$
$$D{B}^2=D{K}^2+K{B}^2$$

Так как точка D является точкой пересечения прямой, перпендикулярной биссектрисе угла BAC, и прямой AB, то отношение длин отрезков AK и KB равно отношению длин отрезков AD и DB.
$$\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{DB}$$

Подставим выражения для AK и KB и квадраты длин отрезков AD и DB в уравнение выше:
$$\frac{\frac{\sqrt{145}}{1}\cdot KC}{KB}=\frac{AD}{DB}$$

Теперь можем найти значения длин отрезков AD и DB. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения:
$$A{D}^2={(\frac{\sqrt{145}}{1}\cdot KC)}^2+K{D}^2$$
и уравнения:
$$D{B}^2=D{K}^2+K{B}^2$$
$$\frac{\frac{\sqrt{145}}{1}\cdot KC}{KB}=\frac{AD}{DB}$$

После решения этой системы уравнений найдем значения длин отрезков AD и DB.