Велосипедист отправился на прогулку и планировал вернуться домой к обеду, двигаясь на протяжении всего пути

Марина_5523

58

Для того чтобы определить среднюю скорость велосипедиста на всем пути, нам необходимо выяснить общее расстояние, которое он преодолел, и общее время, затраченное на путь.

Общее расстояние можно найти, сложив расстояние, преодоленное на каждом участке пути. В первой части пути велосипедист двигался со скоростью 20 км/ч. Поскольку он планировал вернуться к обеду, потребовалось время, равное половине общего времени прогулки.

Полное время прогулки можно найти, умножив время на каждом участке пути на соответствующие расстояния и сложив все результаты.

Для начала, определим расстояния в каждом участке пути, используя равенство \(D = v \cdot t\), где \(D\) - расстояние, \(v\) - скорость, \(t\) - время.

В первой части пути велосипедист двигался на протяжении некоторого времени \(t_1\) со скоростью 20 км/ч. Расстояние на этом участке можно найти, умножив скорость на время:

\[D_1 = 20 \, \text{км/ч} \cdot t_1\]

Затем велосипедист шел пешком со скоростью 5 км/ч. Расстояние на этом участке равно 5 км, поскольку время пути пешком мы пока не знаем.

После этого велосипедист взялся за велосипед и продолжил движение со скоростью 20 км/ч. Расстояние, преодоленное на втором участке пути, можно найти, умножив расстояние на скорость:

\[D_3 = 20 \, \text{км/ч} \cdot t_1\]

На последних 15 км перед домом велосипедист увеличил скорость до 30 км/ч и успешно вернулся домой точно к обеду. Расстояние на этом участке также можно найти, умножив скорость на время:

\[D_4 = 30 \, \text{км/ч} \cdot t_1\]

Теперь, чтобы найти общее расстояние, сложим все расстояния:

\[D_{\text{общее}} = D_1 + D_2 + D_3 + D_4\]

Легко заметить, что \(D_1 = D_3\), поскольку скорость на первом и третьем участках пути одинаковая. Таким образом, можно переписать \[D_{\text{общее}} = 2D_1 + D_2 + D_4\]

Известно, что велосипедист шел пешком со скоростью 5 км/ч, но насколько долго это происходило? Давайте обозначим это время как \(t_2\). Тогда:

\[D_2 = 5 \, \text{км/ч} \cdot t_2\]

Теперь, чтобы найти общее расстояние, нужно знать \(t_1\) и \(t_2\). Заметим, что полное время прогулки равно времени велосипедиста на первом участке пути, поскольку второй участок пути, где он шел пешком, является частью всего времени прогулки.

Общее время пути можно записать, используя время, пройденное на каждом участке:

\[t_{\text{общее}} = t_1 + t_2 + t_1\]

Учитывая, что время пути пешком мы обозначили как \(t_2\), можно переписать \[t_{\text{общее}} = 2t_1 + t_2\]

Мы можем заметить, что время пути \(t_1\) одинаковое на первом и третьем участках, поскольку велосипедист двигался с одной и той же скоростью. Поэтому можно переписать \[t_{\text{общее}} = 2t_1 + t_2 = t_1 + t_1 + t_2 = 2(t_1 + t_2)\]

Теперь у нас есть выражение для общего времени пути. Так как велосипедист задумал вернуться к обеду, то общее время пути равно времени половине обеденного периода:

\[t_{\text{общее}} = \frac{1}{2} \cdot t_{\text{обеда}}\]

Поэтому можем записать \[2(t_1 + t_2) = \frac{1}{2} \cdot t_{\text{обеда}}\]

Теперь мы можем выразить общее время пути в терминах времени обеда:

\[t_1 + t_2 = \frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}\]

Теперь, чтобы найти среднюю скорость, воспользуемся формулой \(v_{\text{сред}} = \frac{D_{\text{общее}}}{t_{\text{общее}}}\), где \(v_{\text{сред}}\) - средняя скорость, \(D_{\text{общее}}\) - общее расстояние, \(t_{\text{общее}}\) - общее время пути.

Подставим ранее найденные значения:

\[v_{\text{сред}} = \frac{2D_1 + D_2 + D_4}{t_1 + t_2}\]

Заметим, что \(2D_1 + D_4 = D_{\text{общее}} - D_2\), поскольку \(2D_1 + D_2 + D_4 = D_{\text{общее}}\). Таким образом, можем переписать:

\[v_{\text{сред}} = \frac{D_{\text{общее}} - D_2}{t_1 + t_2}\]

Подставим выражение для общего времени пути:

\[v_{\text{сред}} = \frac{D_{\text{общее}} - D_2}{\frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}}\]

Теперь подставим значения выражений для расстояний:

\[v_{\text{сред}} = \frac{(2D_1 + D_2 + D_4) - D_2}{\frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}}\]

Упростим выражение:

\[v_{\text{сред}} = \frac{2D_1 + D_4}{\frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}}\]

Теперь подставим значения для расстояний \(D_1\) и \(D_4\):

\[v_{\text{сред}} = \frac{2 \cdot (20 \, \text{км/ч} \cdot t_1) + (30 \, \text{км/ч} \cdot t_1)}{\frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}}\]

Упростим выражение:

\[v_{\text{сред}} = \frac{70 \, \text{км/ч} \cdot t_1}{\frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}}\]

Теперь мы можем заметить, что \(t_1\) - это время, затраченное на велосипедный участок пути, и оно равно половине общего времени прогулки. Мы можем записать \(t_1 = \frac{1}{2} \cdot t_{\text{общее}}\). Теперь можем переписать:

\[v_{\text{сред}} = \frac{70 \, \text{км/ч} \cdot \frac{1}{2} \cdot t_{\text{общее}}}{\frac{1}{4} \cdot t_{\text{обеда}}}\]

Упростим выражение:

\[v_{\text{сред}} = \frac{140 \, \text{км/ч} \cdot t_{\text{общее}}}{t_{\text{обеда}}}\]

Теперь мы можем заметить, что время прогулки равно времени половине обеденного периода, и можем записать \(t_{\text{общее}} = \frac{1}{2} \cdot t_{\text{обеда}}\):

\[v_{\text{сред}} = \frac{140 \, \text{км/ч} \cdot \frac{1}{2} \cdot t_{\text{обеда}}}{t_{\text{обеда}}}\]

Упростим выражение:

\[v_{\text{сред}} = \frac{140 \, \text{км/ч}}{2}\]

Таким образом, средняя скорость велосипедиста на всем пути равна \(70 \, \text{км/ч}\).

Для определения времени, в течение которого велосипедист шел пешком тоже можно воспользоваться уравнением \(D = v \cdot t\), где \(D\) - расстояние, \(v\) - скорость, \(t\) - время.

Мы знаем, что велосипедист шел пешком со скоростью 5 км/ч, исходя из этого можем записать:

\[D_2 = 5 \, \text{км/ч} \cdot t_2\]

Также мы можем заметить, что расстояние пути пешком равно 5 км, и можем записать:

\[D_2 = 5 \, \text{км}\]

Теперь мы можем приравнять выражения для \(D_2\) и найти \(t_2\):

\[5 \, \text{км/ч} \cdot t_2 = 5 \, \text{км}\]

Разделим обе части уравнения на 5 км/ч:

\[t_2 = 1 \, \text{час}\]

Однако, чтобы ответить на вопрос "Какое время он шел пешком?" в минутах, мы должны перевести 1 час в минуты. Вспомним, что в 1 часе содержится 60 минут, поэтому \(1 \, \text{час} = 60 \, \text{минут}\).

Таким образом, велосипедист шел пешком в течение 60 минут.

Итак, средняя скорость велосипедиста на всем пути составляет 70 км/ч, а время, которое он шел пешком, составляет 60 минут.