Визначте радіус орбіти та орбітальну швидкість супутника, який було запущено на колову орбіту у площині екватора Землі

Пушик

14

Щоб визначити радіус орбіти і орбітальну швидкість супутника, спочатку відобразимо дані умови задачі:

Маса Землі: \(m_з = 6 \cdot 10^{24}\) кг
Радіус Землі: \(R_з = 6400\) км

Щоб супутник знаходився над однією точкою екватора Землі постійно, його орбіта повинна бути коловою і лежати в площині, паралельній площині екватора. Це означає, що супутник рухається по колу з центром, співпадаючим з центром Землі.

Для визначення радіусу орбіти скористаємося гравітаційним законом, який гласить:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

де \(F\) - гравітаційна сила між двома тілами,
\(G\) - гравітаційна постійна (\(6.67430 \cdot 10^{-11}\) \(м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}\)),
\(m_1\) і \(m_2\) - маси тіл, між якими діє гравітаційна сила,
\(r\) - відстань між цими тілами.

У даному випадку, \(m_1\) - маса Землі (\(m_з\)), \(m_2\) - маса супутника (\(m_с\)), \(r\) - радіус орбіти супутника (\(r_с\)).

Оскільки супутник знаходиться в нерухомому стані відносно поверхні Землі, то гравітаційна сила, яка діє на супутник, повинна забезпечити необхідний центростремительний прискорення.

Центростремительне прискорення можна визначити за формулою:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

де \(a\) - центростремительне прискорення,
\(v\) - орбітальна швидкість супутника,
\(r\) - радіус орбіти супутника.

Оскільки супутник рухається по колу зі сталою швидкістю, орбітальна швидкість супутника є константою. Тобто, центростремительне прискорення підтримується за рахунок гравітаційної сили.

Ми знаємо, що гравітаційна сила і центростремительне прискорення пов"язані наступним співвідношенням:

\[F = m \cdot a\]

причому, маса супутника (\(m_с\)) можна виразити як продукт маси Землі (\(m_з\)) і співвідношення:

\[m_с = \frac{{m_з}}{{g}}\]

де \(g\) - прискорення вільного падіння.

Отже, враховуючи, що гравітаційна сила між Землею і супутником дорівнює \(F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\), а центростремительне прискорення дорівнює \(a = \frac{{v^2}}{{r}}\), маємо:

\[\frac{{G \cdot m_з \cdot \frac{{m_з}}{{g}}}}{{r_с^2}} = \frac{{v^2}}{{r_с}}\]

Враховуючи, що \(g\) для Землі приблизно дорівнює \(9.8\) \(м/с^2\), можемо записати останнє співвідношення у вигляді:

\[\frac{{G \cdot m_з^2}}{{g \cdot r_с^2}} = \frac{{v^2}}{{r_с}}\]

Тепер ми можемо виразити орбітальну швидкість, використовуючи останнє співвідношення:

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot m_з^2}}{{g \cdot r_с}}}\]

Тепер спробуємо виразити радіус орбіти, використовуючи гравітаційний закон:

\[\frac{{G \cdot m_з \cdot \frac{{m_з}}{{g}}}}{{r_с^2}} = \frac{{v^2}}{{r_с}}\]

Поділимо обидві частини на \(\frac{{m_з}}{{g}}\):

\[\frac{{G \cdot m_з}}{{r_с^2}} = \frac{{v^2}}{{r_с}} \cdot \frac{{g}}{{m_з}}\]

Підставимо значення орбітальної швидкості \(v\) з попереднього виразу:

\[\frac{{G \cdot m_з}}{{r_с^2}} = \sqrt{\frac{{G \cdot m_з^2}}{{g \cdot r_с}}} \cdot \frac{{g}}{{m_з}}\]

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

\[\left(\frac{{G \cdot m_з}}{{r_с^2}}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{{G \cdot m_з^2}}{{g \cdot r_с}}}\right)^2 \cdot \left(\frac{{g}}{{m_з}}\right)^2\]

Скоротимо \(G\) і \(m_з\):

\[\frac{{G^2 \cdot m_з^2}}{{r_с^4}} = \frac{{G \cdot m_з^2}}{{g \cdot r_с}} \cdot \frac{{g^2}}{{m_з^2}}\]

Отримуємо:

\[G \cdot r_с^3 = g \cdot G \cdot m_з\]

Скоротимо \(G\):

\[r_с^3 = g \cdot m_з\]

Тепер можемо знайти радіус орбіти \(r_с\):

\[r_с = \sqrt[3]{{g \cdot m_з}}\]

За підставними значеннями:

\[r_с = \sqrt[3]{{9.8 \cdot 6 \cdot 10^{24}}}\]

Розрахунок дав тобі значення радіусу орбіти супутника. Щоб знайти орбітальну швидкість супутника, враховуючи це значення радіусу, використовуймо формулу:

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot m_з^2}}{{g \cdot r_с}}}\]

Підставляємо в неї відповідні значення:

\[v = \sqrt{\frac{{6.67430 \cdot 10^{-11} \cdot (6 \cdot 10^{24})^2}}{{9.8 \cdot \sqrt[3]{{9.8 \cdot 6 \cdot 10^{24}}}}}}\]

Обчислюємо це значення, і отримаємо орбітальну швидкість супутника. Зауважте, що можна скористатися калькулятором з вбудованою функцією кореня кубічного, щоб зручно обчислити значення радіуса.