Внутри угла АОВ выбрана точка N. Докажите, что N лежит на биссектрисе угла АОВ, при условии, что AN равно BN, и

Belka

66

Для доказательства, что точка N лежит на биссектрисе угла АОВ, нам нужно воспользоваться свойствами биссектрисы. Биссектриса угла делит этот угол на два равных по величине угла.

Итак, у нас есть следующие условия задачи:
1) AN равно BN.
2) Угол АОВ является прямым углом, то есть AO перпендикулярно AN и OB перпендикулярно BN.

Для начала обратим внимание на то, что треугольники АОN и ВОN являются прямоугольными, так как в них есть прямые углы (AO и OB перпендикулярны AN и BN, соответственно). Также, по условию, треугольники равнобедренные, потому что AN равно BN.

Теперь рассмотрим углы между биссектрисой угла АОВ и сторонами этого угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы с стороной AO как M.

Так как биссектриса делит угол AOВ на два равных по величине угла, то у нас есть два равных треугольника: треугольник АМN и треугольник ВMN. Следовательно, углы AMN и ВMN равны между собой.

Обратим внимание, что углы в треугольнике АМN и ВМN в сумме дают 180 градусов (так как они являются внутренними углами треугольника). А это значит, что углы АMN и ВМN равны между собой и каждый из них равен половине угла АОВ.

Таким образом, мы доказали, что точка N лежит на биссектрисе угла АОВ.