Возьмем прямоугольный треугольник ABC, в котором угол BAC равен 30°. Требуется доказать, что отрезок BD, где

Solnechnyy_Narkoman

43

Доказательство:

1. Изначально, по условию задачи, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 30°.

2. Поскольку треугольник прямоугольный, угол ABC равен 90°.

3. Рассмотрим гипотенузу AC и её середину D. По свойствам прямоугольного треугольника, отрезок BD будет являться высотой треугольника ABC, ведь при проведении высоты к гипотенузе она делит гипотенузу на две равные части.

4. Обозначим длину гипотенузы AC как c, длину катета AB как a, а длину отрезка BD как x.

5. Из свойств середины отрезка можно сказать, что AD = DC = c/2.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём мы имеем угол BAC равный 30° и угол ABC равный 90°.

7. Определим отношение длины катета AB к гипотенузе AC. Так как угол BAC равен 30°, то sin(30°) = AB/AC.

8. Согласно свойствам синуса, sin(30°) = 1/2, поэтому получаем: 1/2 = AB/AC.

9. Из уравнения 1/2 = AB/AC можно выразить AB: AB = AC/2.

10. Но мы знаем, что длина гипотенузы AC равна c, поэтому AB = c/2 = a.

11. Таким образом, длина катета AB равна a.

12. Теперь рассмотрим треугольник BCD. Угол BDC также равен 90°, так как BD - это высота треугольника ABC.

13. Длина катета BD равна x, а длина гипотенузы BC - c.

14. Так как угол BDC равен 90°, можно использовать теорему Пифагора: BD^2 + CD^2 = BC^2.

15. Подставим известные значения: x^2 + (c/2)^2 = c^2.

16. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: x^2 + c^2/4 = c^2.

17. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: 4x^2 + c^2 = 4c^2.

18. Перенесём все слагаемые на одну сторону и упростим: 3x^2 = 3c^2.

19. Деля обе части равенства на 3, получим: x^2 = c^2.

20. Извлекаем корень из обеих частей: x = c.

21. Таким образом, мы доказали, что отрезок BD является перпендикуляром к гипотенузе BC и втрое короче катета AB.

Доказательство завершено.