Введите ответы на следующие задачи: a) Определите степень многочлена (2x^3-4x-3)^2+(x^3-x+1)^6. b) Найдите старший
Введите ответы на следующие задачи:
a) Определите степень многочлена (2x^3-4x-3)^2+(x^3-x+1)^6.
b) Найдите старший коэффициент и свободный член.
c) Вычислите сумму всех коэффициентов многочлена.
d) Вычислите сумму коэффициентов при четных степенях.
a) Определите степень многочлена (2x^3-4x-3)^2+(x^3-x+1)^6.
b) Найдите старший коэффициент и свободный член.
c) Вычислите сумму всех коэффициентов многочлена.
d) Вычислите сумму коэффициентов при четных степенях.
Zhuravl 36
Хорошо, давайте решим задачу по порядку.a) Для начала раскроем скобки в заданном многочлене:
\((2x^3-4x-3)^2+(x^3-x+1)^6\)
При раскрытии первой скобки мы получим:
\((2x^3-4x-3)(2x^3-4x-3)\)
Как мы знаем, при умножении двух многочленов \(A\) и \(B\) получается многочлен, сумма степеней мономов в котором равна сумме степеней мономов из \(A\) и \(B\). Таким образом, после раскрытия скобок у нас будут мономы различных степеней.
Теперь произведём умножение двух скобок:
\(4x^6 - 8x^4 - 6x^3 - 8x^4 + 16x^2 + 12x + 6x^3 - 12x - 9\)
Упростим это выражение:
\(4x^6 - 16x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 12x - 9\)
Теперь раскроем вторую скобку:
\((x^3-x+1)(x^3-x+1)\)
Также как и в предыдущей части, раскрываем скобки и упрощаем выражение:
\(x^6 - 2x^4 + x^2 - x^4 + 2x^2 - x + x^2 - 2x + 1\)
\(x^6 - 3x^4 + 4x^2 - 3x + 1\)
Теперь сложим эти два многочлена:
\(4x^6 - 16x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 12x - 9 + x^6 - 3x^4 + 4x^2 - 3x + 1\)
Сгруппируем одинаковые степени \(x\):
\(5x^6 - 19x^4 - 6x^3 + 20x^2 - 15x - 8\)
Ответ: \(5x^6 - 19x^4 - 6x^3 + 20x^2 - 15x - 8\)
b) Старший коэффициент многочлена - это коэффициент перед самой высокой степенью переменной. В данном случае, старшей степенью переменной \(x\) является \(x^6\), а перед ней стоит коэффициент \(5\).
Свободный член многочлена - это коэффициент перед членом без переменных. В данном случае, свободный член равен \(-8\).
Ответ: старший коэффициент равен \(5\), а свободный член равен \(-8\).
c) Для вычисления суммы всех коэффициентов многочлена нужно просто сложить все коэффициенты в этом многочлене.
В нашем случае, сумма всех коэффициентов равна:
\(5 + (-19) + (-6) + 20 + (-15) + (-8)\)
\(=-23\)
Ответ: сумма всех коэффициентов равна \(-23\).
d) Чтобы вычислить сумму коэффициентов при чётных степенях переменной, нам нужно сложить только те коэффициенты, которые находятся перед мономами с чётными показателями степени.
В нашем многочлене, коэффициенты перед мономами с чётными степенями - это коэффициенты при \(x^6\), \(x^4\), \(x^2\) и свободный член \((-8)\). Суммируем:
\(5 + (-19) + 20 + (-8) = -2\)
Ответ: сумма коэффициентов при чётных степенях равна \(-2\).
Надеюсь, ответы были понятны и полезны. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задавайте!