Выберите все утверждения, которые верны безусловно: 1) Простых чисел есть бесконечно большое количество. 2) Количество
Выберите все утверждения, которые верны безусловно:
1) Простых чисел есть бесконечно большое количество.
2) Количество составных чисел ограничено.
3) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn+1 также будет простым.
4) Если p1, …, pn — простые числа, то число P=(p1…pn)2+1 не будет делиться на ни одно из чисел p1, …, pn.
5) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn−1 также будет простым.
6) Если a1, …, an — составные числа, то число a1…an+1 также будет составным.
1) Простых чисел есть бесконечно большое количество.
2) Количество составных чисел ограничено.
3) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn+1 также будет простым.
4) Если p1, …, pn — простые числа, то число P=(p1…pn)2+1 не будет делиться на ни одно из чисел p1, …, pn.
5) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn−1 также будет простым.
6) Если a1, …, an — составные числа, то число a1…an+1 также будет составным.
Mandarin 5
Утверждение 1) Простых чисел есть бесконечно большое количество, является верным. Это утверждение является одной из основных теорем в теории чисел и было доказано Евклидом около 300 года до нашей эры. Доказательство основано на противоречии: предположим, что простых чисел конечное количество, и возьмем их произведение, затем прибавим 1. Результат будет либо простым числом, которого в исходном списке нет, либо имеет простой делитель, которого также нет в списке. Таким образом, мы приходим к противоречию.Утверждение 2) Количество составных чисел ограничено, является неверным. Противоречие с утверждением 1) показывает, что количество составных чисел также бесконечно.
Утверждение 3) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn+1 будет простым, является неверным. Для этого достаточно взять простые числа 2, 3 и 5. \(2 \cdot 3 \cdot 5 + 1 = 31\), и это число является простым. Однако, взяв последовательные простые числа 2, 3, 5 и 7, \(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 = 211\), и данное число уже является составным (211 = 7 * 31).
Утверждение 4) Если p1, …, pn — простые числа, то число P=(p1…pn)2+1 не будет делиться на ни одно из чисел p1, …, pn, является верным. Предположим, что это число делится на одно из простых чисел из списка \(p1, ..., pn\). Тогда оно будет иметь общий делитель с произведением \(p1 * ... * pn\), что противоречит свойству, что они все простые. Таким образом, число \(P=(p1...pn)^2+1\) не будет делиться на ни одно из чисел \(p1, ..., pn\).
Утверждение 5) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn−1 также будет простым, является неверным. Например, взяв простые числа 2, 3 и 5, \(2 \cdot 3 \cdot 5 - 1 = 29\), и это число является простым. Однако, взяв последовательные простые числа 2, 3, 5 и 7, \(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 - 1 = 209\), и данное число уже является составным (209 = 11 * 19).
Утверждение 6) Если a1, …, an — составные числа, то число a1…an+1 также будет составным, является верным. Если все числа \(a1, ..., an\) являются составными, значит они имеют делители, отличные от 1 и от самих чисел. Тогда, если мы рассмотрим произведение \(a1...an\), оно также будет иметь делители, отличные от 1 и от самих чисел. И если мы добавим единицу, получим число с еще большим количеством делителей, поэтому оно будет составным числом. Таким образом, число \(a1...an+1\) будет составным числом. Утверждение 6) верно.