What are the roots of the equation with the expression (5 tan^2 x + 14 tan x = 3 )? 1) (x = arctan(0.2) + pi n

Искрящаяся_Фея_734

65

Для начала решим уравнение: \(5 \tan^2 x + 14 \tan x = 3\).

Это уравнение является квадратным относительно \(\tan x\), если рассмотреть его как квадратное уравнение в переменной \(\tan x\).
Для начала введем подстановку: обозначим \(\tan x = t\). Тогда уравнение примет вид: \(5t^2 + 14t - 3 = 0\).

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать формулу Квадратного уравнения: \(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
В данном случае \(a = 5\), \(b = 14\), и \(c = -3\).

Подставим значения и найдем корни:
\[t_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 * 5 * (-3)}}{2*5}\]
\[t_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 60}}{10}\]
\[t_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{10}\]
\[t_{1,2} = \frac{-14 \pm 16}{10}\]

Таким образом, \(t_1 = \frac{2}{10} = 0.2\) и \(t_2 = \frac{-30}{10} = -3\).

Теперь найдем значения углов \(x\), соответствующих этим значениям \(\tan x\), используя арктангенс:
1) Для \(t = 0.2\): \(x = \arctan(0.2) + \pi n\),
2) Для \(t = -3\): \(x = -\arctan(3) + \pi n\).

Таким образом, правильные ответы на задачу: 1) \(x = \arctan(0.2) + \pi n\) и 4) \(-\arctan(3)\).