What are the roots of the equation with the expression (5 tan^2 x + 14 tan x = 3 )? 1) (x = arctan(0.2) + pi n

Искрящаяся_Фея_734

65

Для начала решим уравнение: $5{\tan }^{2}x+14\tan x=3$.

Это уравнение является квадратным относительно $\tan x$, если рассмотреть его как квадратное уравнение в переменной $\tan x$.
Для начала введем подстановку: обозначим $\tan x=t$. Тогда уравнение примет вид: $5t^2+14t-3=0$.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать формулу Квадратного уравнения: $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
В данном случае $a=5$, $b=14$, и $c=-3$.

Подставим значения и найдем корни:
$$t_{1,2}=\frac{-14\pm \sqrt{{14}^2-4\ast 5\ast (-3)}}{2\ast 5}$$
$$t_{1,2}=\frac{-14\pm \sqrt{196+60}}{10}$$
$$t_{1,2}=\frac{-14\pm \sqrt{256}}{10}$$
$$t_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{10}$$

Таким образом, $t_1=\frac{2}{10}=0.2$ и $t_2=\frac{-30}{10}=-3$.

Теперь найдем значения углов $x$, соответствующих этим значениям $\tan x$, используя арктангенс:
1) Для $t=0.2$: $x=\arctan (0.2)+\pi n$,
2) Для $t=-3$: $x=-\arctan (3)+\pi n$.

Таким образом, правильные ответы на задачу: 1) $x=\arctan (0.2)+\pi n$ и 4) $-\arctan (3)$.