What are the roots of the function and the coordinates of the vertex of the parabola: y=(x−11)^2-49. Write down

Sofiya

63

Для начала давайте найдем корни данной квадратичной функции. Корни квадратного уравнения можно найти приравнивая само уравнение к нулю:

\[ (x-11)^2 - 49 = 0 \]

Далее, раскроем квадрат:

\[ x^2 - 22x + 121 - 49 = 0 \]

\[ x^2 - 22x + 72 = 0 \]

Теперь нужно найти значения x, при которых это уравнение равно 0. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае коэффициенты a=1, b=-22, c=72.

\[ x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4*1*72}}{2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 288}}{2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{196}}{2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{22 \pm 14}{2} \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{22 + 14}{2} = 18 \]

\[ x_2 = \frac{22 - 14}{2} = 4 \]

Итак, корни уравнения \(x^2 - 22x + 72 = 0\) равны x1=4 и x2=18.

Теперь найдем координаты вершины параболы. Координаты вершины параболы можно найти по формулам:

\[ x_v = \frac{-b}{2a} \]

\[ y_v = f(x_v) = (x_v - 11)^2 - 49 \]

В нашем случае a=1, b=-22.

\[ x_v = \frac{22}{2} = 11 \]

Теперь найдем y_v:

\[ y_v = (11-11)^2 - 49 = -49 \]

Итак, координаты вершины параболы: (11, -49).