What is given: f(x)={x2+4x+3, if x∈[−5;0]x+1−−−−√+2, if x∈(0;3] Draw the graph of this function. Find the intervals
What is given: f(x)={x2+4x+3, if x∈[−5;0]x+1−−−−√+2, if x∈(0;3] Draw the graph of this function. Find the intervals of increasing and decreasing, extrema (i.e. maximum and minimum) of the function, the largest and smallest values of the function, intervals of sign consistency of the function, evenness, zeros of the function, and points of intersection with the x and y axes. 1. Interval of increasing of the function: x∈[−2;3] x∈(−2;3) x∈(−1;3) Interval of decreasing of the function: x∈[−5;−2) x∈(−5;−3) x∈(−5;−2) x∈[−5;−2] 2. Extremum of the function (input a positive or negative integer in the corresponding window): f( ) = . This is the maximum of the function minimum of the function
Арсен 32
Для решения этой задачи, нам сначала необходимо построить график данной функции.Поскольку у нас два случая в определении функции в зависимости от значения переменной x, нам нужно будет построить два графика - один для каждого случая.
Для удобства мы сначала определим график функции \(y = x^2 + 4x + 3\) на интервале \([-5, 0]\), а затем график функции \(y = \sqrt{x+1} + 2\) на интервале \((0, 3]\).
1. Для графика функции \(y = x^2 + 4x + 3\) на интервале \([-5, 0]\):
Построим таблицу значений, выберем несколько точек на этом интервале и построим график:
Подставим некоторые значения x:
Для x = -5: \(y = (-5)^2 + 4(-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8\)
Для x = -4: \(y = (-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\)
Для x = -3: \(y = (-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0\)
Для x = -2: \(y = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
Для x = -1: \(y = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\)
Для x = 0: \(y = 0^2 + 4(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3\)
Теперь построим точки на координатной плоскости и соединим их прямыми сегментами:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & 8 \\
-4 & 3 \\
-3 & 0 \\
-2 & -1 \\
-1 & 0 \\
0 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]
INSERT GRAPH 1 HERE
2. Теперь построим график функции \(y = \sqrt{x+1} + 2\) на интервале \((0, 3]\):
Построим таблицу значений, выберем несколько точек на этом интервале и построим график:
Подставим некоторые значения x:
Для x = 1: \(y = \sqrt{1+1} + 2 = \sqrt{2} + 2 \approx 3.414\)
Для x = 2: \(y = \sqrt{2+1} + 2 = \sqrt{3} + 2 \approx 3.732\)
Для x = 3: \(y = \sqrt{3+1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 4\)
Теперь построим точки на координатной плоскости и соединим их прямыми сегментами:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
1 & 3.414 \\
2 & 3.732 \\
3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
INSERT GRAPH 2 HERE
Теперь перейдем к определению интервалов возрастания и убывания функции.
1. Интервалы возрастания функции:
На основе графика функции, мы видим, что функция возрастает на интервале \([-2, 3]\).
2. Интервалы убывания функции:
На основе графика функции, мы видим, что функция убывает на интервале \([-5, -2]\).
Теперь давайте определим экстремумы функции - максимумы и минимумы.
1. Максимальное значение функции:
Максимальное значение функции достигается на точке графика с наибольшим значением y. Из графика функции, мы видим, что максимальное значение функции равно 4 и достигается при x = 3.
2. Минимальное значение функции:
Минимальное значение функции достигается на точке графика с наименьшим значением y. Из графика функции, мы видим, что минимальное значение функции равно -1 и достигается при x = -2.
Теперь определим интервалы знакопостоянства функции.
1. Интервалы, на которых функция положительна:
Из графика функции, мы видим, что функция положительна на интервалах \([-5, -2)\) и \((0, 3]\).
2. Интервалы, на которых функция отрицательна:
Из графика функции, мы видим, что функция отрицательна на интервале \((-2, 0)\).
Теперь давайте посмотрим, является ли функция четной или нечетной.
Функция \(f(x) = x^2 + 4x + 3\) не является ни четной, ни нечетной, поскольку она не обладает свойствами симметрии \(f(x) = f(-x)\) для нечетных функций или \(f(x) = -f(-x)\) для четных функций.
Теперь найдем корни функции (точки, в которых функция пересекает ось x) и точки пересечения с осью y.
1. Нули функции (корни уравнения \(f(x) = 0\)):
Для функции \(f(x) = x^2 + 4x + 3\), мы можем решить уравнение:
\(x^2 + 4x + 3 = 0\)
Находим корни этого уравнения (решение квадратного уравнения):
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\)
x_1 = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\)
x_2 = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3\)
Таким образом, нули функции находятся при x = -1 и x = -3.
2. Точка пересечения с осью y:
Чтобы найти точку пересечения с осью y, мы подставляем x = 0 в уравнение функции:
\(y = (0)^2 + 4(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3\)
Таким образом, функция пересекает ось y на точке (0, 3).
В итоге, график функции будет выглядеть следующим образом:
INSERT FINAL GRAPH HERE