What is the alternative expression for (sin14a-sin10a)/(cos3a-cos7a)?

Васька

65

Для начала, давайте напишем альтернативное выражение для \(\frac{{\sin(14a) - \sin(10a)}}{{\cos(3a) - \cos(7a)}}\).

Мы знаем, что \(\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\left(\frac{{x+y}}{2}\right)\sin\left(\frac{{x-y}}{2}\right)\).

Применим это тождество к числителю нашего выражения:

\(\sin(14a) - \sin(10a) = 2\cos\left(\frac{{14a+10a}}{2}\right)\sin\left(\frac{{14a-10a}}{2}\right) = 2\cos(12a)\sin(2a)\).

Теперь рассмотрим знаменатель \(\cos(3a) - \cos(7a)\). Здесь мы можем использовать другое тождество, а именно \(\cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{{x+y}}{2}\right)\sin\left(\frac{{x-y}}{2}\right)\).

Применим данное тождество к нашему знаменателю:

\(\cos(3a) - \cos(7a) = -2\sin\left(\frac{{3a+7a}}{2}\right)\sin\left(\frac{{3a-7a}}{2}\right) = -2\sin(5a)\sin(-2a)\).

Обратите внимание, что \(\sin(-x) = -\sin(x)\), так что \(\sin(-2a) = -\sin(2a)\).

Теперь альтернативное выражение для \(\frac{{\sin(14a) - \sin(10a)}}{{\cos(3a) - \cos(7a)}}\) примет вид:

\[\frac{{2\cos(12a)\sin(2a)}}{{-2\sin(5a)\sin(-2a)}}.\]

Cократив коэффициенты 2, получим окончательное альтернативное выражение:

\[\frac{{\cos(12a)\sin(2a)}}{{\sin(5a)\sin(2a)}}.\]

Это альтернативное выражение является упрощенной формой начального выражения.