Найдите значение cos α и tg α, если известно, что sin α равно √ 15/5

Solnce_V_Gorode_954

32

Конечно! Для решения этой задачи мы можем использовать треугольник со следующими соотношениями: \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt{15}}}{{5}}\), \(\cos \alpha\) и \(\tan \alpha\) являются тригонометрическими функциями угла \(\alpha\).

Давайте найдём значение \(\cos \alpha\). Воспользуемся теоремой Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза. В нашем случае, согласно предоставленной информации, \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt{15}}}{{5}}\). Мы можем представить это в виде уравнения: \(\left(\frac{{\sqrt{15}}}{{5}}\right)^2 + b^2 = c^2\).

Теперь рассмотрим формулы для \(\cos \alpha\) и \(\tan \alpha\). \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), а \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\).

Для получения значения \(\cos \alpha\):

1. Возведём \(\frac{{\sqrt{15}}}{{5}}\) в квадрат: \(\left(\frac{{\sqrt{15}}}{{5}}\right)^2 = \frac{{15}}{{25}}\).
2. Заменим \(b^2\) в уравнении \(a^2 + b^2 = c^2\) на полученное значение: \(a^2 + \frac{{15}}{{25}} = c^2\).
3. Мы знаем, что \(a^2 = 1\) (так как \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)), поэтому: \(1 + \frac{{15}}{{25}} = c^2\).
4. Мы можем упростить выражение: \(\frac{{40}}{{25}} = c^2\).
5. Найдём значение \(c^2\): \(c^2 = \frac{{8}}{{5}}\).
6. Найдём корень из \(c^2\): \(c = \sqrt{\frac{{8}}{{5}}}\).
7. Подставим значение \(c\) в формулу для \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{{b}}{{\sqrt{\frac{{8}}{{5}}}}}\).
8. Выразим \(b\) из этого уравнения: \(b = \cos \alpha \cdot \sqrt{\frac{{8}}{{5}}}\).
9. Упростим выражение: \(b = \frac{{\cos \alpha \cdot \sqrt{8}}}{{\sqrt{5}}}\).
10. Теперь подставим значение \(b\) в формулу для \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{{\frac{{\cos \alpha \cdot \sqrt{8}}}{{\sqrt{5}}}}}{{\sqrt{\frac{{8}}{{5}}}}}\).
11. Упростим выражение дальше: \(\cos \alpha = \frac{{\cos \alpha \cdot \sqrt{8}}}{{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{{8}}{{5}}}}\).
12. Приведём к общему знаменателю: \(\cos \alpha = \frac{{\cos \alpha \cdot \sqrt{8}}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{\frac{{8}}{{5}}}}}\).
13. Сократим \(\sqrt{8}\): \(\cos \alpha = \frac{{\cos \alpha \cdot 2\sqrt{2}}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{\frac{{8}}{{5}}}}}\).
14. Упростим выражение: \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt{2}\cos \alpha}}{{\sqrt{5} \cdot \frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{5}}}}}\).
15. Сократим \(\sqrt{2}\): \(\cos \alpha = \frac{{\cos \alpha}}{{1}} = \cos \alpha\).

Итак, мы получаем, что \(\cos \alpha = \cos \alpha\). Это значит, что \(\cos \alpha\) равно любому значению в диапазоне от 0 до 1.

Теперь найдём значение \(\tan \alpha\):

1. Воспользуемся формулой \(\tan \alpha = \frac{{b}}{{a}}\).
2. Подставим значение \(b\), которое мы получили для \(\cos \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{{\frac{{\cos \alpha \cdot \sqrt{8}}}{{\sqrt{5}}}}}{{1}}\).
3. Упростим выражение: \(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha \cdot \sqrt{8}}}{{\sqrt{5}}}\).
4. Мы можем сократить \(\sqrt{8}\): \(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha \cdot 2\sqrt{2}}}{{\sqrt{5}}}\).
5. Окончательно, \(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt{2}\cos \alpha}}{{\sqrt{5}}}\).

Таким образом, значение \(\cos \alpha\) равно любому значению в диапазоне от 0 до 1, а значение \(\tan \alpha\) равно \(\frac{{2\sqrt{2}\cos \alpha}}{{\sqrt{5}}}\).