What is the area of a parallelogram with one side measuring 17, the other side measuring 10, and one angle measuring

Drakon

6

Давайте решим задачи по порядку.

1. Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной стороны на высоту, опущенную на эту сторону. В нашей задаче, у нас дана одна сторона равная 17 и другая сторона равная 10. Мы можем найти высоту, используя геометрические свойства параллелограмма. Параллелограмм имеет две параллельные стороны и два равных угла. Заданный угол равен 45 градусам.
Для определения высоты можно использовать тригонометрию. Разделим параллелограмм на два прямоугольных треугольника. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника с катетами 10 и 17, и острым углом 45 градусов.
Используя теорему Пифагора, найдем длину высоты треугольника:
\[ h = \sqrt{10^2 - 10^2\sin^2(45^\circ)} \]
\[ h = \sqrt{10^2 - 10^2(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} \]
\[ h = \sqrt{10^2 - 10^2 \cdot \frac{1}{2}} \]
\[ h = \sqrt{100 - 50} \]
\[ h = \sqrt{50} \]
Площадь параллелограмма может быть найдена как произведение длины одной стороны на соответствующую высоту:
\[ \text{Площадь} = 17 \cdot \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \]
Упростим это выражение:
\[ \text{Площадь} = 17 \cdot \sqrt{\frac{50}{2}} \]
Заметим, что $\sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{\frac{25}{1}} = 5$. Подставим этот результат в наше выражение для найденной площади:
\[ \text{Площадь} = 17 \cdot 5 = 85 \text{ (единиц площади)} \]

2. Для второй задачи аналогично найдем площадь параллелограмма с данными сторонами. Используя теорему Пифагора и треугольник с катетами 3 и 5, и острым углом 60 градусов, найдем высоту:
\[ h = \sqrt{5^2 - 3^2\sin^2(60^\circ)} \]
\[ h = \sqrt{25 - 3^2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \]
\[ h = \sqrt{25 - 3^2 \cdot \frac{3}{4}} \]
\[ h = \sqrt{25 - \frac{27}{4}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{100}{4} - \frac{27}{4}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{73}{4}} \]
Площадь параллелограмма тогда будет:
\[ \text{Площадь} = 3 \cdot \frac{\sqrt{\frac{73}{4}}}{\sqrt{3}} \]
Упростим это выражение, заметив, что $\sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$:
\[ \text{Площадь} = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{73}}{2}}{\sqrt{3}} \]
Подставим соответствующие значения в данное выражение:
\[ \text{Площадь} = \frac{3 \sqrt{73}}{2 \sqrt{3}} \]
Упростим это дальше:
\[ \text{Площадь} = \frac{3 \sqrt{73}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{Площадь} = \frac{3\sqrt{219}}{6} \]
\[ \text{Площадь} = \frac{\sqrt{219}}{2} \approx 7.857 \text{ (единиц площади)} \]

3. В третьей задаче у нас есть треугольник с двумя сторонами, известной длины, и углом между ними. Для нахождения площади треугольника, мы можем использовать формулу:
\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона1} \cdot \text{сторона2} \cdot \sin(\text{угол}) \]
Подставим данные:
\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 28\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ) \]
Упростим выражение $\sin(120^\circ)$. Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin(60^\circ)$, то $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ)$. Значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:
\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 28\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Площадь} = \frac{5 \cdot 28\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} \]
\[ \text{Площадь} = \frac{5 \cdot 28 \cdot 3}{4} \]
\[ \text{Площадь} = \frac{420}{4} \]
\[ \text{Площадь} = 105 \text{ (единиц площади)} \]

Таким образом, мы получили ответы на все задачи. Площадь первого параллелограмма составляет 85 единиц площади, площадь второго параллелограмма составляет примерно 7.857 единицы площади, а площадь треугольника составляет 105 единиц площади.