What is the electric field intensity inside a spherical capacitor at a distance x from its center? Calculate the energy

Shnur

10

Хорошо, рассмотрим вашу задачу подробно. Для начала, давайте определимся с тем, что представляет собой сферический конденсатор. Сферический конденсатор состоит из двух сферических проводников разного радиуса, помещенных один внутрь другого. Между ними создается электрическое поле.

Задача состоит в определении интенсивности электрического поля внутри сферического конденсатора на расстоянии x от его центра. Для этого нам понадобится использовать формулу для интенсивности электрического поля внутри сферической оболочки. Формула имеет вид:

\[E = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\]

Где E - интенсивность электрического поля, Q - заряд на внутреннем проводнике, \(\epsilon_0\) - диэлектрическая постоянная, r - расстояние от центра сферы.

Теперь подставим известные значения в формулу. Учитывая, что у нас сферический конденсатор, в котором внутренний проводник имеет заряд \(Q\), а внешний - заряд \(-Q\), мы заменим \(Q\) на \(Q_{in}\), а расстояние \(r\) на \(x\):

\[E = \dfrac{Q_{in}}{4\pi\epsilon_0 x^2}\]

Теперь перейдем ко второй части задачи, где необходимо вычислить плотность энергии поля внутри конденсатора у пластин. Плотность энергии электрического поля, обозначаемая \(w\), вычисляется по формуле:

\[w = \dfrac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot E^2\]

Для каждой из пластин конденсатора, интенсивность поля будет равна \(E\). Подставим это значение в формулу плотности энергии, и вычислим плотность энергии близ каждой из пластин.

\[w_{пластина} = \dfrac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot E^2\]

Теперь, чтобы сравнить плотность энергии поля с общей энергией конденсатора и объемом пространства между пластинами, нам нужно вычислить общую энергию \(w\) конденсатора и объем \(v\) пространства между пластинами.

Общая энергия \(w\) конденсатора вычисляется по формуле:

\[w = \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot V^2\]

Где C - ёмкость конденсатора, а V - напряжение между пластинами.

Объем \(v\) пространства между пластинами можно вычислить, зная геометрию конденсатора. В данной задаче мы не имеем конкретных данных о геометрии конденсатора, поэтому предположим, что пространство между пластинами имеет форму цилиндра. Тогда объем можно вычислить по формуле:

\[v = S \cdot h\]

Где S - площадь одной из пластин, а h - расстояние между пластинами.

Таким образом, чтобы сравнить \(w\) и \(v\) с \(w/v\), нам нужно:
1) Вычислить интенсивность электрического поля \(E\) внутри конденсатора на расстоянии \(x\) от его центра.
2) Вычислить плотность энергии поля \(w_{пластина}\) у каждой из пластин.
3) Вычислить общую энергию конденсатора \(w\).
4) Вычислить объем пространства между пластинами \(v\).
5) Сравнить \(w\) и \(v\) с \(w/v\) и проанализировать их значения.

Давайте начнем с первого шага и вычислим интенсивность электрического поля \(E\) внутри сферического конденсатора на расстоянии \(x\) от его центра.