What is the equation of the parabola if its focus is F(4;3) and the directrix is y+1=0?

Letayuschaya_Zhirafa_4122

48

Конечно, я помогу вам с этой задачей! Это задача на определение уравнения параболы, и мы можем использовать определение параболы, основанное на ее фокусе и директрисе.

Для начала, давайте определим, что такое фокус и директриса параболы. Фокус - это точка на параболе, которая используется для определения ее формы. Директриса - это прямая, которая параллельна оси симметрии параболы и служит опорной линией для отражения света или других объектов.

В данной задаче нам дано, что фокус параболы находится в точке F(4;3), а директриса параболы имеет уравнение y+1=0.

Чтобы найти уравнение параболы, мы используем формулу, связывающую координаты фокуса P(F) и уравнение директрисы. Формула для определения параболы, основанная на фокусе и директрисе, имеет вид:

\[y = \frac{1}{4p}(x-h)^2 + k\]

где (h,k) - координаты вершины параболы, а p - фокусное расстояние.

Давайте найдем координаты вершины параболы и фокусное расстояние, чтобы определить уравнение параболы.

Для начала, выразим y из уравнения директрисы:

y+1=0 => y=-1

Теперь проверим, где находится фокус относительно директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой равно фокусному расстоянию p.

Используя формулу для расстояния между двумя точками:

p = |3 - (-1)| = 4

Таким образом, фокусное расстояние p равно 4.

Теперь, у нас есть фокусное расстояние и координаты вершины параболы, чтобы записать уравнение параболы. Координаты вершины параболы (h, k) можно найти из уравнений фокуса и директрисы.

Из фокуса: P(h, k+p)

Из директрисы: P(h, k-p)

Подставим известные значения:

Фокус (4, 3): (h, k+4) = (4, 3)

Из этого уравнения мы можем найти координаты вершины параболы:
h = 4
k + 4 = 3 => k = -1

Теперь, когда у нас есть координаты вершины параболы и фокусное расстояние, мы можем записать окончательное уравнение параболы:

\[y = \frac{1}{4p}(x-h)^2 + k\]

\[y = \frac{1}{4(4)}(x-4)^2 - 1\]

\[y = \frac{1}{16}(x-4)^2 - 1\]

Таким образом, уравнение параболы с фокусом F(4,3) и директрисой y+1=0 имеет вид:

\[y = \frac{1}{16}(x-4)^2 - 1\]

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как получить уравнение параболы, используя данные о фокусе и директрисе. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!