What is the fastest way for the boy to reach his teacher if he can move at a constant speed u > v on the escalator?

Артемович

20

Давайте разберемся с задачей. Предположим, что скорость мальчика на эскалаторе равна \(u\) и его скорость по отношению к эскалатору (т.е. когда он не двигается) равна \(v\). Задача состоит в том, чтобы определить, какой из двух вариантов является самым быстрым для мальчика, чтобы догнать своего учителя.

Для начала рассмотрим первый вариант: мальчик сперва бежит вверх, потом меняет направление и бежит вниз. Чтобы понять, что происходит, возьмем момент времени, когда мальчик и учитель встретятся. Представим, что это происходит через время \(t\).

Учитывая, что мальчик движется со скоростью \(u\) и эскалатор снизу вверх со скоростью \(v\), за время \(t\) мальчик преодолеет расстояние \(ut\) вверх, а эскалатор преодолеет расстояние \(vt\) вниз. Таким образом, учитель будет находиться на расстоянии \(vt\) от вершины эскалатора.

Теперь рассмотрим второй вариант: мальчик сперва бежит вниз, потом меняет направление и бежит вверх. Аналогично первому варианту, представим, что встреча происходит через время \(t\).

В этот раз мальчик движется со скоростью \(u\) вниз, а эскалатор движется снизу вверх со скоростью \(v\). За время \(t\) мальчик преодолеет расстояние \(ut\) вниз, а эскалатор преодолеет расстояние \(vt\) вверх. Таким образом, учитель будет находиться на том же расстоянии \(vt\) от начала эскалатора, что и в первом случае.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что в обоих вариантах мальчик будет на том же расстоянии от учителя в момент встречи. Это означает, что вне зависимости от выбранного варианта, мальчик догонит своего учителя одновременно.

Таким образом, нет разницы, бежать ли сначала вверх или сначала вниз. Мальчику будет быстрее всего просто бежать навстречу учителю со скоростью \(u\).

Надеюсь, это помогло вам понять решение этой задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.