Які довжини діагоналей паралелограма, якщо сторони його дорівнюють 3 см і 8 см, а між ними кут дорівнює 60°?

Ameliya_5938

18

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о паралелограммах и тригонометрии. Паралелограм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны и равны по длине. Чтобы найти длины диагоналей паралелограмма, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Давайте обозначим стороны паралелограмма как \(a = 3\) см и \(b = 8\) см, а угол между ними как \(\theta = 60^\circ\). Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - это длины диагоналей паралелограмма, которые нам нужно найти.

Теорема косинусов гласит: в любом треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Применяя эту теорему к паралелограмму, мы можем записать:

\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\]
\[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\]

Подставляя значения, которые даны в задаче, мы получаем:

\[d_1^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[d_2^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\]

Раскрывая выражения в скобках и вычисляя косинус 60 градусов (который равен 0.5), мы получаем:

\[d_1^2 = 9 + 64 - 48 \cdot 0.5\]
\[d_2^2 = 9 + 64 - 48 \cdot 0.5\]

Выполняя арифметические вычисления, мы получаем:

\[d_1^2 = 9 + 64 - 24\]
\[d_2^2 = 9 + 64 - 24\]

\[d_1^2 = 49\]
\[d_2^2 = 49\]

Наконец, извлекая квадратный корень, мы находим длины диагоналей:

\[d_1 = \sqrt{49} = 7\]
\[d_2 = \sqrt{49} = 7\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны 7 см. Обратите внимание, что обе диагонали имеют одинаковую длину.