В шкафу на кафедре математики хранятся 30 свернутых в рулоны плакатов. Из них, 15 плакатов предназначены для занятий

Борис

68

Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Дано, что всего имеется 30 рулонов плакатов, из которых 15 предназначены для аналитической геометрии, а 10 - для математического анализа.

а) Чтобы найти вероятность того, что среди выбранных 5 рулонов будут рулоны с плакатами по аналитической геометрии, мы должны разделить количество благоприятных исходов (выбор 3 рулонов из 15 аналитической геометрии) на общее количество возможных исходов (выбор 5 рулонов из 30 общего количества).

Количество благоприятных исходов можно найти с помощью комбинаторики. Мы должны выбрать 3 рулона из 15 рулонов аналитической геометрии. Воспользуемся формулой для сочетаний:

\[
C_{15}^{3} = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 455
\]

Теперь найдем общее количество возможных исходов, для этого нам нужно выбрать 5 рулонов из 30 рулонов в шкафу.

Используем аналогичную формулу для сочетаний:

\[
C_{30}^{5} = \frac{{30!}}{{5! \cdot (30-5)!}} = \frac{{30!}}{{5! \cdot 25!}} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 142506
\]

Теперь, когда мы знаем количество благоприятных исходов и общее количество исходов, мы можем найти вероятность того, что 3 рулона будут содержать плакаты по аналитической геометрии:

\[
P(\text{{три рулона аналитической геометрии}}) = \frac{{455}}{{142506}} \approx 0.0032
\]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных 5 рулонов будут рулоны с плакатами по аналитической геометрии, составляет около 0.0032 (или около 0.32%).

б) Теперь мы хотим найти вероятность того, что 2 рулона будут содержать плакаты по аналитической геометрии, а 2 рулона - плакаты по математическому анализу.

Аналогично предыдущей части, количество благоприятных исходов будет равно произведению количества сочетаний 2 рулонов аналитической геометрии из 15 и 2 рулонов математического анализа из 10:

\[
C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{2} = \frac{{15!}}{{2! \cdot (15-2)!}} \cdot \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}}
\]

Найдем общее количество исходов, которое составляет количество сочетаний 5 рулонов из 30:

\[
C_{30}^{5} = \frac{{30!}}{{5! \cdot (30-5)!}}
\]

И, наконец, найдем вероятность данного исхода:

\[
P(\text{{два рулона геометрия, два рулона анализ}}) = \frac{{C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{2}}}{{C_{30}^{5}}}
\]

Подставив значения и произведя необходимые вычисления, найдем конечную вероятность.