What is the value of 8 sin a if tg a = 0.75 and -π < a < -π/2?

Сэр

36

Как школьный учитель, я с радостью помогу вам с задачей. Давайте посмотрим на предоставленные данные.

У нас дана тригонометрическая функция тангенс \(tg\), которая равна 0.75. Мы также знаем, что угол \(a\) находится в интервале от -π до -π/2. Мы должны найти значение функции синус \(sin\) при данном угле \(a\).

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся связью между функциями тангенс и синус. Связь эта выглядит так:
\[tg(a) = \frac{{sin(a)}}{{cos(a)}}\]

Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение синуса \(sin(a)\), затем подставить полученное значение в исходное уравнение для получения ответа.

Давайте найдем косинус \(cos(a)\) с помощью формулы тождества:
\[cos^2(a) = 1 - sin^2(a)\]

Теперь мы можем решить это уравнение, используя данные и ограничения, которые нам даны.

Так как у нас \(tg(a) = 0.75\) и \(cos(a) < 0\) (так как \(a\) находится в интервале от -π до -π/2), мы можем утверждать, что \(tan(a)\) является отрицательным числом.

Теперь найдем \(cos(a)\):
\[cos(a) = -\sqrt{1 - sin^2(a)}\]
\[cos(a) = -\sqrt{1 - (\frac{sin(a)}{cos(a)})^2}\]
\[cos(a) = -\sqrt{1 - (\frac{0.75}{cos(a)})^2}\]
\[cos(a) = -\sqrt{1 - 0.75^2}\]
\[cos(a) = -\sqrt{1 - 0.5625}\]
\[cos(a) = -\sqrt{0.4375}\]
\[cos(a) = -0.6614\]

Теперь, когда у нас есть значение косинуса \(cos(a)\), мы можем решить исходное уравнение, чтобы найти значение синуса \(sin(a)\):
\[tg(a) = \frac{{sin(a)}}{{cos(a)}}\]
\[0.75 = \frac{{sin(a)}}{{-0.6614}}\]
\[sin(a) = 0.75 \cdot -0.6614\]
\[sin(a) = -0.4961\]

Таким образом, значение \(8sin(a)\) равно:
\[8 \cdot -0.4961 = -3.969\]

Итак, значение \(8sin(a)\) при данных ограничениях и условиях равно -3.969.

Надеюсь, это решение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь.