What is the value of (cos^2B + 2)/(cos^2B + 3sinBcosB) when tanB

Pyatno

27

Хорошо, давайте начнем с выражения \( \dfrac{\cos^2 B + 2}{\cos^2 B + 3 \sin B \cos B} \). Мы можем преобразовать это выражение, используя trigonometric identities (тригонометрические тождества). Давайте разложим числитель и знаменатель:

1. Выражение в числителе:
\[ \cos^2 B + 2 \]
Мы знаем, что \(\cos^2 B + \sin^2 B = 1\) (тригонометрическое тождество Пифагора). Поэтому можно выразить \(\cos^2 B\) через \(\sin^2 B\):
\[ \cos^2 B = 1 - \sin^2 B \]

Подставим это обратно в выражение:
\[ \cos^2 B + 2 = 1 - \sin^2 B + 2 = 3 - \sin^2 B \]

2. Выражение в знаменателе:
\[ \cos^2 B + 3 \sin B \cos B \]

Мы знаем, что \(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\). Таким образом, мы можем переписать выражение в знаменателе, используя удвоенный угол:
\[ \cos^2 B + 3 \sin B \cos B = \cos^2 B + \dfrac{3}{2} \cdot 2 \sin B \cos B = \cos^2 B + \dfrac{3}{2} \sin 2B \]

Теперь, зная эти выражения, мы можем подставить их обратно в изначальное выражение:
\[ \dfrac{3 - \sin^2 B}{\cos^2 B + \frac{3}{2} \sin 2B} \]

Теперь, зная, что \(\tan B = \dfrac{\sin B}{\cos B}\), мы можем заменить \(\sin B\) и \(\cos B\) через тангенс:
\[ \dfrac{3 - (\dfrac{\sin B}{\cos B})^2}{(\cos B)^2 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2 \sin B \cos B}{\cos B}} \]

Продолжим упрощение:
\[ \dfrac{3 - \dfrac{\sin^2 B}{\cos^2 B}}{\cos^2 B + 3 \sin B} \]

Теперь используем определение тангенса:
\[ \dfrac{3 - \tan^2 B}{1 + 3 \tan B} \]

Это окончательный ответ, который выражает заданное выражение через тангенс угла B.