What is the value of (cos^2B + 2)/(cos^2B + 3sinBcosB) when tanB

Pyatno

27

Хорошо, давайте начнем с выражения ${\displaystyle \frac{{\cos }^{2}B+2}{{\cos }^{2}B+3\sin B\cos B}}$. Мы можем преобразовать это выражение, используя trigonometric identities (тригонометрические тождества). Давайте разложим числитель и знаменатель:

1. Выражение в числителе:
$${\cos }^{2}B+2$$
Мы знаем, что ${\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B=1$ (тригонометрическое тождество Пифагора). Поэтому можно выразить ${\cos }^{2}B$ через ${\sin }^{2}B$:
$${\cos }^{2}B=1-{\sin }^{2}B$$

Подставим это обратно в выражение:
$${\cos }^{2}B+2=1-{\sin }^{2}B+2=3-{\sin }^{2}B$$

2. Выражение в знаменателе:
$${\cos }^{2}B+3\sin B\cos B$$

Мы знаем, что $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$. Таким образом, мы можем переписать выражение в знаменателе, используя удвоенный угол:
$${\cos }^{2}B+3\sin B\cos B={\cos }^{2}B+{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 2\sin B\cos B={\cos }^{2}B+{\displaystyle \frac{3}{2}}\sin 2B$$

Теперь, зная эти выражения, мы можем подставить их обратно в изначальное выражение:
$${\displaystyle \frac{3-{\sin }^{2}B}{{\cos }^{2}B+\frac{3}{2}\sin 2B}}$$

Теперь, зная, что $\tan B={\displaystyle \frac{\sin B}{\cos B}}$, мы можем заменить $\sin B$ и $\cos B$ через тангенс:
$${\displaystyle \frac{3-({\displaystyle \frac{\sin B}{\cos B}}{)}^2}{(\cos B{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2\sin B\cos B}{\cos B}}}}$$

Продолжим упрощение:
$${\displaystyle \frac{3-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}B}{{\cos }^{2}B}}}{{\cos }^{2}B+3\sin B}}$$

Теперь используем определение тангенса:
$${\displaystyle \frac{3-{\tan }^{2}B}{1+3\tan B}}$$

Это окончательный ответ, который выражает заданное выражение через тангенс угла B.