What is the value of (cos 51° cos 12° - sin 51° sin 12°) / (sin 13° cos 14° + cos 13° sin 14°)?

Лягушка

34

Давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть следующее выражение:

\[
\frac{{\cos 51° \cdot \cos 12° - \sin 51° \cdot \sin 12°}}{{\sin 13° \cdot \cos 14° + \cos 13° \cdot \sin 14°}}
\]

Шаг 1: Нам может помочь формула для вычисления разности углов косинусов:

\[
\cos (a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b
\]

Шаг 2: Используя эту формулу, мы можем переписать числитель и знаменатель следующим образом:

\[
\frac{{\cos 51° \cdot \cos 12° - \sin 51° \cdot \sin 12°}}{{\sin 13° \cdot \cos 14° + \cos 13° \cdot \sin 14°}} = \frac{{\cos (51° - 12°)}}{{\sin (13° + 14°)}}
\]

Шаг 3: Продолжим упрощать выражение:

\[
\frac{{\cos (51° - 12°)}}{{\sin (13° + 14°)}} = \frac{{\cos 39°}}{{\sin 27°}}
\]

Шаг 4: Теперь можно воспользоваться тригонометрическими определениями. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Возьмем для удобства треугольник со сторонами 39 и 27.

\[
\frac{{\cos 39°}}{{\sin 27°}} = \frac{{\frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}}}{{\frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}}} = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{противоположный катет}}}}
\]

Шаг 5: Теперь остается только вычислить это соотношение:

\[
\frac{{39}}{{27}} = \frac{{13}}{{9}}
\]

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{{13}}{{9}}\).