What is the value of P in the rectangular trapezoid ABCD, given that M, N, K, P are the points of tangency and OK=4

Вечный_Мороз

68

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом нам нужно взглянуть на изображение и разобраться, что такое прямоугольная трапеция. Прямоугольная трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Также, каждая из этих параллельных сторон называется основанием. В данной задаче, основаниями являются стороны AB и CD.

Теперь, обратим внимание на точки M, N, K и P, которые являются точками касания вписанной окружности с прямыми AB, BC, CD и DA соответственно.

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, касается каждой из сторон этой трапеции. Это утверждение основано на свойстве вписанной окружности, что касательная, проведенная из точки касания, является перпендикуляром к радиусу окружности, проведенному из этой же точки касания.

Так как у нас дано, что OK=4, то это означает, что от точки K до центра окружности радиусом 4.

Ключевой момент данной задачи заключается в том, что в прямоугольной трапеции, пары противоположных сторон равны. Таким образом, мы можем сделать вывод, что стороны BC и AD являются равными, а стороны AB и CD также равны.

Так как M - точка касания вписанной окружности с прямой AB, а P - точка касания с прямой AD, то мы можем сделать вывод, что MP - это радиус окружности. То же самое верно для точек N и K, где NP и KP являются радиусами окружности.

Так как MP и KP являются радиусами окружности, которые имеют одну общую точку K, то KP будет равно MP. Это важно помнить при решении данной задачи.

Теперь мы можем приступить к решению. Для начала, обозначим длину стороны AB как x. Так как стороны AB и CD равны, то и сторона CD также будет равна x.

Так как OK - это радиус окружности и равен 4, то мы можем заметить, что KM - это половина длины стороны AB. То есть KM = x / 2.

С учетом этого, мы можем выразить длину стороны BC следующим образом: BC = KM + KP.
Так как KP равно MP, а MP является радиусом окружности, то KP также равно 4.

Итак, BC = KM + KP = x / 2 + 4.

Согласно определению прямоугольной трапеции, что пары противоположных сторон равны, BC также будет равно CD. Таким образом, x / 2 + 4 = x.

Теперь решим данное уравнение относительно x:

x / 2 + 4 = x.

Умножим каждое слагаемое на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

x + 8 = 2x.

Вычтем x из обеих сторон уравнения:

8 = x.

Таким образом, мы нашли, что сторона AB равна 8.

Но в задаче нас интересует значение P, которое является точкой касания окружности с прямой AD. Так как AD равна x, то P будет находиться на расстоянии x/2 от точки D.

С учетом того, что x = 8, получаем, что P будет находиться на расстоянии 8/2 = 4 от точки D.

Таким образом, значение P равно 4.

Итак, мы получили, что значение P в прямоугольной трапеции ABCD равно 4.