Як розподілити сто мір хліба між п ятьма людьми так, щоб другий отримав більше, ніж перший, третій отримав більше

Ten

13

Для розподілу ста мір хліба між п"ятьма людьми з такими умовами, нам потрібно скласти систему рівнянь. Давайте позначимо кількість хліба, яку отримають перший, другий, третій, четвертий і п"ятий людина відповідно як \(x\), \(y\), \(z\), \(w\) і \(v\).

За умовою, другий отримає більше, ніж перший, тому \(y > x\).
Також, третій отримає більше, ніж другий, тому \(z > y\).
Четвертий отримає більше, ніж третій, тому \(w > z\).
І нарешті, п"ятий отримає більше, ніж четвертий, тому \(v > w\).

Друга умова говорить нам, що два перших отримають в сім разів менше, ніж троє останніх. Оскільки третій отримує \(z\) мір хліба, то перший отримає \(\frac{z}{7}\) мір хліба і другий отримає \(\frac{z}{7}\) мір хліба.

Тепер ми можемо скласти систему рівнянь на основі умови:

\begin{align*}
y &> x \\
z &> y \\
w &> z \\
v &> w \\
x + y + z + w + v &= 100 \\
x &= \frac{z}{7} \\
y &= \frac{z}{7}
\end{align*}

Ми знаємо, що сума всіх п"яти кількостей хліба має дорівнювати ста мірам, тому ми додаємо усі п"ять невідомих кількостей хліба і ставимо це дорівнювання 100.

Тепер давайте розв"яжемо цю систему. Спочатку замінимо \(x\) і \(y\) умовою \(x + y + z + w + v = 100\):

\[\frac{z}{7} + \frac{z}{7} + z + w + v = 100\]

Складаємо рівняння на основі умови \(w > z\):

\[w = z + d\]

де \(d\) - позитивна константа.

Так само, на основі умови \(v > w\), можемо записати, що:

\[v = w + d"\]

де \(d"\) - позитивна константа.

Замінюємо рівняння нашої системи знайденими замінами:

\[\frac{z}{7} + \frac{z}{7} + z + (z + d) + (z + d + d") = 100\]

Спростимо це рівняння:

\[\frac{2z}{7} + 3z + 2d + d" = 100\]

За допомогою рівняння \(2d + d" = k\) (де \(k\) - деяка константа), спростимо рівняння:

\[\frac{2z}{7} + 3z + k = 100\]

Знайдемо спільний знаменник:

\[14z + 21z + 7k = 700\]

\[35z + 7k = 700\]

Тепер, розглянувши рівняння \(35z + 7k = 700\) і замінивши \(z\) на \(5\), ми отримаємо значення \(k\):

\[35 \cdot 5 + 7k = 700\]

\[175 + 7k = 700\]

\[7k = 525\]

\[k = 75\]

Таким чином, отримали значення \(k\). Щоб знайти значення \(z\), підставимо \(k\) у рівняння \(35z + 7k = 700\):

\[35z + 7 \cdot 75 = 700\]

\[35z + 525 = 700\]

\[35z = 175\]

\[z = 5\]

Ми знайшли значення \(z\), тепер давайте знайдемо значення інших невідомих.

Підставимо \(z\) у рівняння \(x = \frac{z}{7}\):

\[x = \frac{5}{7}\]

\[x \approx 0.71\]

Підставимо \(z\) у рівняння \(y = \frac{z}{7}\):

\[y = \frac{5}{7}\]

\[y \approx 0.71\]

Використовуючи умову \(w = z + d\), ми можемо записати:

\[w = 5 + d\]

А використовуючи умову \(v = w + d"\), ми можемо записати:

\[v = w + d" = 5 + d + d"\]

Значення \(d\) і \(d"\) ми вже знайшли раніше, \(d = 75\) і \(d" = k = 75\), тому ми можемо записати:

\[w = 5 + 75\]

\[w = 80\]

\[v = w + d" = 80 + 75\]

\[v = 155\]

Таким чином, кількість хліба, яку отримають усі п"ятеро людей згідно умови, така:

Перший людина отримає \(x \approx 0.71\) мір хліба.
Другий людина отримає \(y \approx 0.71\) мір хліба.
Третій людина отримає \(z = 5\) мір хліба.
Четвертий людина отримає \(w = 80\) мір хліба.
П"ятий людина отримає \(v = 155\) мір хліба.

Будь ласка, зверніть увагу, що ці значення можуть бути округлені до другого знаку після коми, оскільки хліб не може бути поділено на дробиці.