What is the value of tg^4 when sin^2 2a-4sin^2a is divided by sin^2 2a+4sin^2a-4?

  • 70
What is the value of tg^4 when sin^2 2a-4sin^2a is divided by sin^2 2a+4sin^2a-4?
Магия_Звезд
62
Для решения данной задачи, мы будем использовать известные тригонометрические тождества и замену переменной. Давайте начнем.

1. Известно, что \(tg^2 a = \frac{{sin^2 a}}{{cos^2 a}}\). Мы можем заменить \(tg^2 a\) в исходном выражении.

2. Разложим \(sin^2 2a\) в сумму с помощью формулы двойного угла:
\(sin^2 2a = (sin 2a)^2 = (2sin a \cdot cos a)^2 = 4sin^2 a \cdot cos^2 a\)

3. Заменим \(sin^2 2a\) в исходном выражении:
\(sin^2 2a - 4sin^2 a = 4sin^2 a \cdot cos^2 a - 4sin^2 a = 4sin^2 a \cdot (cos^2 a - 1)\)

4. Мы также можем разложить \(sin^2 a\) и \(cos^2 a\) с использованием формулы:
\(sin^2 a = \frac{{1 - cos 2a}}{{2}}\) и \(cos^2 a = \frac{{1 + cos 2a}}{{2}}\)

5. Теперь заменим \(sin^2 a\) и \(cos^2 a\) в полученном выражении:
\(4sin^2 a \cdot (cos^2 a - 1) = 4sin^2 a \cdot \left(\frac{{1 + cos 2a}}{{2}} - 1\right) = 4sin^2 a \cdot \frac{{1 + cos 2a - 2}}{{2}} = 2sin^2 a \cdot (1 - cos 2a)\)

6. Разложим \(sin^2 a\) с использованием формулы:
\(sin^2 a = \frac{{1 - cos 2a}}{{2}}\)

7. Теперь получим:
\(2sin^2 a \cdot (1 - cos 2a) = 2\cdot \frac{{1 - cos 2a}}{{2}} \cdot (1 - cos 2a) = (1 - cos 2a)^2\)

8. Затем, разложим \(sin^2 2a + 4sin^2 a - 4\):
\(sin^2 2a + 4sin^2 a - 4 = 4sin^2 a \cdot cos^2 a + 4sin^2 a - 4 = 4sin^2 a \cdot (cos^2 a + 1) - 4 = 4sin^2 a \cdot \frac{{1 + cos 2a}}{{2}} - 4 = 2sin^2 a \cdot (1 + cos 2a) - 4\)

9. Заменим \(sin^2 a\) и \(cos^2 a\) в данном выражении:
\(2sin^2 a \cdot (1 + cos 2a) - 4 = 2 \cdot \frac{{1 - cos 2a}}{{2}} \cdot (1 + cos 2a) - 4 = (1 - cos 2a)(1 + cos 2a) - 4 = 1 - cos^2 2a - 4 = -cos^2 2a - 3\)

10. Теперь подставим полученные значения в изначальное выражение:
\(\frac{{sin^2 2a - 4sin^2 a}}{{sin^2 2a + 4sin^2 a - 4}} = \frac{{(1 - cos 2a)^2}}{{-cos^2 2a - 3}}\)

Таким образом, значение \(tg^4\) в данной задаче равно \(\frac{{(1 - cos 2a)^2}}{{-cos^2 2a - 3}}\).