Як довести, що число 19*(8 піднесене до степеня n) +17 є складним числом?

Magnitnyy_Zombi_5452

18

Хорошо! Давайте пошагово решим эту задачу и докажем, что число \(19 \cdot 8^n + 17\) является сложным числом. Для начала, давайте вспомним, что такое сложное число.

Сложное число - это натуральное число, которое имеет более двух делителей. Если у числа есть только два делителя (1 и само число), то такое число называется простым.

Теперь давайте докажем, что число \(19 \cdot 8^n + 17\) является сложным.

Шаг 1: Предположение
Предположим, что число \(19 \cdot 8^n + 17\) является простым числом.

Шаг 2: Представление числа
Разложим число \(19 \cdot 8^n + 17\) на множители следующим образом:

\[19 \cdot 8^n + 17 = 19 \cdot (2^3)^n + 17 = 19 \cdot 2^{3n} + 17\]

Шаг 3: Факторизация
Мы знаем, что любое число вида \(a^n - b^n\) делится на \(a-b\). Применим это свойство для факторизации числа:

\[19 \cdot 2^{3n} + 17 = (19 \cdot 2^{3n} - 1) + 18\]

Теперь мы можем представить число как сумму значений \((19 \cdot 2^{3n} - 1)\) и 18.

Шаг 4: Рассмотрение делителей
Обратим внимание, что число 19\(\cdot\)2\(^{3n}\) + 17 делится на 18, так как 18 является одним из его слагаемых. Рассмотрим другой множитель \((19 \cdot 2^{3n} - 1)\).

Шаг 5: Изучение \(19 \cdot 2^{3n} - 1\)
Рассмотрим выражение \(19 \cdot 2^{3n} - 1\). Применим формулы разности квадратов для его факторизации:

\[19 \cdot 2^{3n} - 1 = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1)\\ = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1)\\ = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1^2) = (19 \cdot 2^{3n} - 1)\]

Шаг 6: Делители
Мы видим, что у выражения \(19 \cdot 2^{3n} - 1\) есть делители \(19\) и \(2^{3n} - 1\). Значит, чтобы доказать, что число \(19 \cdot 8^n + 17\) является сложным, нам достаточно доказать, что \(2^{3n} - 1\) является сложным числом.

Шаг 7: Исследование \(2^{3n} - 1\)
Рассмотрим выражение \(2^{3n} - 1\). Это является разностью квадратов и может быть факторизовано следующим образом:

\[2^{3n} - 1 = (2^n - 1) \cdot (2^{2n} + 2^n + 1)\]

Шаг 8: Делители \(2^{3n} - 1\)
Очевидно, что выражение \(2^n - 1\) является делителем \(2^{3n} - 1\), потому что \(2^{2n} + 2^n + 1\) всегда больше 1.

Шаг 9: Заключение
Мы показали, что число \(19 \cdot 8^n + 17\) разлагается на множители \(18\) и \((2^n - 1)\), и что \(2^n - 1\) является делителем \(2^{3n} - 1\). Следовательно, число \(19 \cdot 8^n + 17\) имеет более двух делителей и является сложным числом.

Таким образом, мы доказали, что число \(19 \cdot 8^n + 17\) является сложным числом.