Як можна застосувати визначений інтеграл у геометрії? Як обчислити об єм тіл, які утворюються при обертанні?

Alla

65

Визначений інтеграл можна використовувати в геометрії для обчислення об"єму тіл, які утворюються при обертанні певних фігур.

При обертанні фігури навколо осі утворюється об"ємне тіло, яке можна розглядати як суму безлічі тонких дисков або кілець, розташованих один поруч одного. Кожен такий диск або кільце можна розглядати як циліндр, об"єм якого можна обчислити з використанням формули \(V = \pi r^2 h\), де \(r\) - радіус диска або кільця, а \(h\) - його висота.

Щоб обчислити об"єм такого тіла, можна скласти всі ці циліндричні об"єми, які утворюються при обертанні фігури. Це можна зробити за допомогою визначеного інтеграла.

Припустимо, що функція \(f(x)\) задає профіль фігури, яку ми розглядаємо. Якщо ми обертаємо цю фігуру навколо осі \(x\), то це утворить тіло, об"єм якого можна обчислити за допомогою інтеграла:

\[V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx\]

У цьому виразі \(\pi [f(x)]^2\) - це площа поперечного перерізу кожного диска (або кільця), а інтеграл визначає суму всіх таких площ поперечних перерізів, які утворюють об"єм тіла при обертанні.

Для обчислення цього інтеграла потрібно знати функцію \(f(x)\), що описує профіль фігури, а також межі інтегрування \(a\) і \(b\). Значення цих меж визначають, яку частину фігури ми обертаємо.

У випадку, якщо фігура має симетрію, можна використовувати властивість симетрії для спрощення обчислень. Наприклад, якщо функція \(f(x)\) парна, тобто \(f(x) = f(-x)\) для всіх \(x\) у межах \([-a, a]\), то об"єм можна обчислити за формулою:

\[V = 2 \int_0^a \pi [f(x)]^2 dx\]

З наведеним поясненням і формулою визначеного інтеграла, учень зможе зрозуміти, як застосувати визначений інтеграл у геометрії для обчислення об"ємів тіл, які утворюються при обертанні фігур.