Як підтвердити факт, що чотирикутник ABCD - прямокутник, якщо координати вершин цього чотирикутника: А(1; 2); В(2

Анастасия

25

Чтобы подтвердить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам необходимо проверить, что его стороны перпендикулярны друг другу, а также что их длины соответствуют определению прямоугольника.

Для начала, давайте найдем углы между сторонами четырехугольника ABCD, используя его координаты вершин и формулу нахождения угла между векторами.

Пусть вектор AB будет равен \(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2-1,1-2) = (1,-1)\)

Вектор BC будет равен \(\vec{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) = (-1-2,-2-1) = (-3,-3)\)

Вектор CD будет равен \(\vec{CD} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3) = (-2-(-1),-1-(-2)) = (-1,1)\)

И, наконец, вектор DA будет равен \(\vec{DA} = (x_1 - x_4, y_1 - y_4) = (1-(-2),2-(-1)) = (3,3)\)

Теперь, чтобы найти угол между векторами, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\)

где \(\theta\) - угол между векторами AB и BC, \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) - скалярное произведение векторов AB и BC, \(|\vec{u}|\) и \(|\vec{v}|\) - длины векторов AB и BC соответственно.

Теперь вычислим скалярное произведение и длины векторов:

\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-3) = 3 - 3 = 0\)

\( |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)

\( |\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}\)

Теперь можем найти значение угла \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| |\vec{BC}|} = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = 0\)

Так как значение косинуса равно 0, это значит, что угол между векторами AB и BC равен 90 градусам.

Аналогично, можно вычислить углы между векторами BC и CD, CD и DA, а также DA и AB, и убедиться, что все они тоже равны 90 градусам.

Таким образом, у нас получается, что все углы четырехугольника ABCD равны 90 градусам, что соответствует определению прямоугольника. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.