Як у воді слід розмістити два заряди так, щоб їх взаємодія не змінилася, якщо вони спочатку взаємодіють у повітрі

Alisa

53

Для того чтобы решить эту задачу, нужно учесть принцип суперпозиции и теорию электромагнитного взаимодействия.

Когда два заряда взаимодействуют друг с другом, сила взаимодействия между ними определяется законом Кулона. Согласно этому закону, сила, действующая между двумя точечными зарядами, пропорциональна их зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Математически это можно записать следующим образом:

\[F = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила взаимодействия, \(k\) - постоянная Кулона, \(q_1\) и \(q_2\) - заряды двух частиц, а \(r\) - расстояние между ними.

Чтобы сила взаимодействия не менялась при перемещении зарядов из воздуха в воду, нужно учесть, что в воде электростатическая постоянная (диэлектрическая проницаемость) выше, чем в воздухе. Диэлектрическая проницаемость воды составляет примерно 80, в то время как воздух обычно считается вакуумом, у которого диэлектрическая проницаемость равна 1.

Таким образом, чтобы сохранить силу взаимодействия двух зарядов при перемещении их из воздуха в воду, необходимо уравнять доли формулы Кулона, связанные с диэлектрической проницаемостью:

\[\frac{{k_{воздух} \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2_{воздух}}} = \frac{{k_{вода} \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2_{вода}}}\]

Так как \(k_{вода} = 80 \cdot k_{воздух}\), можно записать:

\[\frac{{q_1 \cdot q_2}}{{r^2_{воздух}}} = \frac{{q_1 \cdot q_2}}{{80 \cdot r^2_{вода}}}\]

Сокращая \(q_1\) и \(q_2\), а также \(r^2_{воздух}\) и \(r^2_{вода}\), получаем:

\[\frac{1}{{r^2_{воздух}}} = \frac{1}{{80 \cdot r^2_{вода}}}\]

Теперь остается найти связь между расстояниями \(r_{воздух}\) и \(r_{вода}\). Вода имеет более высокую плотность, чем воздух, и заряды в воде будут искривлять траекторию, двигаясь под действием дополнительной силы со стороны молекулярных зарядов воды.

Под водой заряды будут испытывать силу отталкивания, пропорциональную квадрату расстояния. Пусть \(h\) - это высота водного столба превышающая уровень воды, на котором находятся заряды. Тогда связь между расстояниями в воздухе и в воде будет выглядеть так:

\(r_{воздух} = r_{вода} + h\)

Подставим это выражение в уравнение и решим его:

\[\frac{1}{{(r_{вода} + h)^2}} = \frac{1}{{80 \cdot r^2_{вода}}}\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[1 = \frac{{r^2_{вода}}}{{80 \cdot (r_{вода} + h)^2}}\]

Для удобства можно обозначить \(x = r_{вода}\) и преобразовать уравнение:

\[80 \cdot (x + h)^2 = x^2\]

Раскроем скобки:

\[80 \cdot (x^2 + 2hx + h^2) = x^2\]

Упростим:

\[80x^2 + 160hx + 80h^2 = x^2\]

Перенесем все члены влево и приведем подобные члены:

\[79x^2 + 160hx + 80h^2 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Можно применить дискриминант, чтобы найти значения \(x\), при которых уравнение имеет решение. Дискриминант квадратного уравнения равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

В данном случае \(a = 79\), \(b = 160h\) и \(c = 80h^2\). Подставим значения и решим дискриминант:

\[D = (160h)^2 - 4 \cdot 79 \cdot 80h^2\]

\[D = 25600h^2 - 25360h^2\]

\[D = 240h^2\]

Теперь можно найти значения \(x\) с помощью квадратного корня:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

\[x = \frac{{-160h \pm \sqrt{240h^2}}}{{2 \cdot 79}}\]

\[x = \frac{{-160h \pm 4h \sqrt{15}}}{{158}}\]

Таким образом, два возможных значения \(x\) равны:

\[x_1 = \frac{{-160h + 4h \sqrt{15}}}{{158}}\]

\[x_2 = \frac{{-160h - 4h \sqrt{15}}}{{158}}\]

Подставляя обратно \(x = r_{вода}\), получим значения расстояний в воде, при которых сила взаимодействия не меняется. Ответ представим в виде округленных десятичных чисел.