Яка буде за модулем швидкість гвинтівки, якщо її маса в 500 разів більша за масу кулі, під час пострілу з гвинтівки

Magicheskiy_Tryuk

46

Для решения данной задачи используем законы сохранения импульса и энергии.

Масса гвинтівки в 500 раз больше массы кули, поэтому обозначим массу гвинтівки как \(M = 500m\), где \(m\) - масса кули.

Рассмотрим систему, состоящую из гвинтівки и кули. Пусть \(V_0\) - начальная скорость гвинтівки перед выстрелом, \(v\) - скорость гвинтівки после выстрела и \(V\) - скорость кули после выстрела.

Используя закон сохранения импульса для системы, получаем следующее уравнение:

\[MV_0 = (M + m)v + mV\]

Также, используя закон сохранения энергии для системы, имеем:

\[\frac{1}{2}MV_0^2 = \frac{1}{2}(M + m)v^2 + \frac{1}{2}mV^2\]

Решим данную систему уравнений.

Сначала найдем \(v\), подставив \(v = V_0 - V\) в первое уравнение:

\[MV_0 = (M + m)(V_0 - V) + mV\]

раскроем скобки:

\(MV_0 = MV_0 - MV + Mm + mv - mv\)

сократим одинаковые дроби:

\(0 = Mm + mv - MV\)

Сократим М:

\(0 = m + v - V\)

Из получившегося уравнения можно выразить \(v\):

\[v = V - m\]

Теперь, подставляя данное значение \(v\) в уравнение энергии, получим:

\[\frac{1}{2}MV_0^2 = \frac{1}{2}(M + m)(V_0 - V)^2 + \frac{1}{2}mV^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{1}{2}MV_0^2 = \frac{1}{2}(M^2 + m^2 + 2Mm - 2MV_0V + V_0^2 - 2V_0V) + \frac{1}{2}mV^2\]

Сократим одинаковые дроби:

\[MV_0^2 = M^2V_0^2 + m^2V_0^2 + 2MmV_0^2 - 2MV_0^2V + V_0^4 - 2V_0^3V + mV^2V_0^2\]

Далее, приведем подобные слагаемые:

\[0 = M^2V_0^2 + m^2V_0^2 + 2MmV_0^2 - 2MV_0^2V + V_0^4 - 2V_0^3V + mV^2V_0^2 - MV_0^2\]

\[0 = M^2V_0^2 + m^2V_0^2 + 2MmV_0^2 - MV_0^2 + V_0^4 - 2V_0^3V + mV^2V_0^2\]

\[0 = M^2V_0^2 + m^2V_0^2 + 2MmV_0^2 + V_0^4 - 2V_0^3V + mV^2V_0^2 - MV_0^2\]

\[0 = M^2V_0^2 + m^2V_0^2 + (2Mm + mV^2 - M)V_0^2 + V_0^4 - 2V_0^3V\]

\[0 = (M^2 + m^2 + 2Mm + mV^2 - M)V_0^2 - 2V_0^3V + V_0^4\]

факторизуем:

\[0 = ((M + m)^2 - M)V_0^2 - V_0^3(2V - V_0)\]

Обозначим \(K = (M + m)^2 - M\) и \(P = 2V - V_0\), получаем:

\[0 = KV_0^2 - V_0^3P\]

Так как \(V_0 \neq 0\), то можно разделить обе части уравнения на \(V_0^2\):

\[0 = KP - V_0P^2\]

Таким образом, получаем:

\[KP = V_0P^2\]

делим обе части на P:

\[K = V_0P\]

\[V_0 = \frac{K}{P}\]

Подставим числовые значения:

\[M = 500m\]

\[K = ((M + m)^2 - M) = ((500m + m)^2 - 500m)\]

\[P = 2V - V_0\]

Найдем \(V\) из первого уравнения \(v = V_0 - V\):

\[V = V_0 - v = \frac{K}{P} - \frac{K}{P} = 0\]

Таким образом, скорость гвинтівки равна нулю после выстрела.