Яка довжина діагоналі прямокутника, якщо перпендикуляр, який йдеться з одного з його вершин, має довжину 12 і поділяє

Gloriya

35

Давайте розглянемо задачу про діагональ прямокутника разом.

Припустимо, що довжина одного відрізка діагоналі прямокутника становить $x$, а другого відрізка діагоналі - $y$. Ми знаємо, що перпендикуляр, проведений з однієї з вершин прямокутника, ділить діагональ на два відрізки. За умовою, різниця між цими двома відрізками становить 12.

Ми можемо скласти рівняння для заданих відрізків:
$$y-x=12$$ (1)

Також ми можемо застосувати теорему Піфагора до прямокутника:
$$x^2+y^2=d^2$$ (2)

Де $d$ - довжина діагоналі прямокутника.

Тепер, коли у нас є два рівняння (1) і (2), ми можемо розв"язати їх, щоб знайти довжину діагоналі.

Давайте спочатку розв"яжемо рівняння (1) відносно $y$:
$$y=x+12$$ (3)

Тепер, підставимо (3) в (2):
$$x^2+(x+12{)}^2=d^2$$

Послідовно розкриваємо дужки:
$$x^2+x^2+24x+144=d^2$$

Об"єднуємо подібні терміни:
$$2x^2+24x+144=d^2$$ (4)

Тепер ми маємо рівняння (4), яке можна вирішити для знаходження $d$.

Ми можемо подальше спростити рівняння, щоб отримати більш зручну форму. Спростимо його, ділячи кожен член на 2:
$$x^2+12x+72=\frac{d^2}{2}$$ (5)

Тепер перепишемо рівняння (5) в іншій формі:
$$x^2+12x+72-\frac{d^2}{2}=0$$ (6)

Тепер, коли ми маємо рівняння (6), можемо застосувати квадратне рівняння. Використовуючи квадратну формулу, отримаємо значення $x$ і підставимо його назад, щоб знайти $y$ і $d$.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

У нашому випадку, якщо порівняти (6) з загальним виглядом квадратного рівняння $a{x}^2+bx+c=0$, то ми можемо побачити, що $a=1$, $b=12$, $c=72-\frac{d^2}{2}$.

Підставимо ці значення в квадратну формулу і отримаємо значення $x$:

$$x=\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4\times 1\times (72-\frac{d^2}{2})}}{2\times 1}$$

Після обчислення, ми отримуємо два значення для $x$. Значення $y$ можна обчислити, використовуючи відношення (3): $y=x+12$.

Знайдені значення $x$ і $y$ ви можете підставити в рівняння (2), щоб знайти $d$:

$$x^2+y^2=d^2$$

Це дасть вам значення довжини діагоналі прямокутника. Пам"ятайте, що в рівнянні (2) вам потрібно використати числові значення $x$ і $y$, а не самі вирази.

Якщо ви хочете, ми можемо разом розв"язати це квадратне рівняння, що дасть вам значення $x$, $y$ і $d$. Будь ласка, повідомте мені, якщо ви хочете продовжити розв"язання.