Яка є довжина меншої бічної сторони прямокутної трапеції, у якої один з кутів дорівнює 135°, середня лінія має довжину

Sladkaya_Babushka_8328

34

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала определим основы прямоугольной трапеции. Обозначим меньшую основу как \(a\), а большую основу как \(b\). Таким образом, у нас есть следующие данные:

Середня линия трапеции имеет длину 18 см. Так как середняя линия является средним арифметическим основ трапеции, то мы можем записать уравнение:

\[\frac{a+b}{2} = 18 \quad \text{(уравнение 1)}\]

Также известно, что отношение между основами равно 1:8:

\[\frac{a}{b} = \frac{1}{8} \quad \text{(уравнение 2)}\]

Для нахождения длины меньшей боковой стороны трапеции нам понадобится знать угол, который равен 135 градусов. Этот угол находится между основой \(a\) и боковой стороной.

Теперь воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти длину боковой стороны. Теорема синусов утверждает, что в произвольном треугольнике отношение любой стороны к синусу противолежащего ей угла равно постоянной величине:

\[\frac{a}{\sin(135^\circ)} = \frac{L}{\sin(45^\circ)} \quad \text{(уравнение 3)}\]

Здесь \(L\) - длина боковой стороны трапеции, \(\sin(135^\circ)\) - синус угла 135 градусов, \(\sin(45^\circ)\) - синус угла 45 градусов.

Теперь, имея три уравнения (уравнения 1, 2 и 3), у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для нахождения \(a\) или \(L\).

Выражаем \(b\) из уравнения 2:

\(a = \frac{1}{8}b\)

Подставляем это значение в уравнение 1:

\[\frac{\frac{1}{8}b+b}{2} = 18\]

\[\frac{\frac{9}{8}b}{2} = 18\]

\[\frac{9}{8}b = 36\]

\[9b = 288\]

\[b = \frac{288}{9} = 32\]

Таким образом, большая основа трапеции равна 32 см.

Теперь, используя значение большей основы \(b\), мы можем найти меньшую основу \(a\):

\[a = \frac{1}{8}b = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4\]

Таким образом, меньшая основа трапеции равна 4 см.

Наконец, находим длину боковой стороны трапеции, подставляя значения в уравнение 3:

\[\frac{4}{\sin(135^\circ)} = \frac{L}{\sin(45^\circ)}\]

Рассчитываем значения синусов и подставляем:

\[\frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{L}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упрощаем:

\[4 \cdot \sqrt{2} = L \cdot \sqrt{2}\]

\[\cancel{4} \cdot \cancel{\sqrt{2}} = L \cdot \cancel{\sqrt{2}}\]

\[L = 4\]

Таким образом, длина меньшей боковой стороны прямоугольной трапеции равна 4 см.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для Вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.