Яка довжина сторони dc паралелограма abcd, якщо площина α, паралельна діагоналі bd, перетинає його суміжні сторони

Kuzya_975

14

Поставимо позначення:

Пусть сторона паралелограма \(AB\) имеет длину \(a\), а диагональ \(BD\) -- длину \(d\).

Из условия задачи, площадь паралелограма делится пополам плоскостью \(\alpha\), параллельной диагонали \(BD\) и пересекающей смежные стороны в точках \(M\) и \(N\). А также, известно, что отношение \(BM:MC = 1:3\) и что \(MC = 8\) см.

Для решения задачи, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади паралелограма через длину диагонали и высоту:

\[S = d \cdot h\]

где \(S\) -- площадь паралелограма, \(d\) -- длина диагонали, а \(h\) -- высота, опущенная на эту диагональ.

Высота \(h\) равна расстоянию между прямыми, проведенными через стороны \(BC\) и \(AD\) параллельно диагонали \(BD\). Поскольку эти прямые параллельны и сторона \(BC\) делится точками \(M\) и \(N\) в отношении \(BM:MC\), то площадь треугольников \(BMC\) и \(CND\) в отношении равна их высотам, то есть:

\[\frac{{S_{BMC}}}{{S_{CND}}} = \frac{{BM}}{{MC}} = 1:3\]

Также, прямоугольные треугольники \(BMC\) и \(CND\) имеют общий острый угол при вершине \(C\), а значит, они подобны. Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Теперь, зная, что \(MC = 8\) см, мы можем найти длину стороны \(MC\):

\[BC = BM + MC = \left(\frac{1}{4} \cdot MC\right) + MC = \frac{5}{4} \cdot MC = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10\] см.

Таким образом, сторона \(BC\) параллелограма равна 10 см.

Но в параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(BC = AD\). Получается, что сторона \(AD\) тоже равна 10 см.

Обозначим за \(DC\) искомую сторону параллелограмма.

Так как прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(CDA\) имеют общий острый угол при вершине \(C\), они подобны. Поэтому, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Имеем следующую пропорцию:

\[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{AD}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{{a}}{{10}} = \frac{{DC}}{{10}}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[a = DC\]

Таким образом, длина стороны \(DC\) равна \(10\) см.