Яка довжина сторони квадрата і радіус кола, яке описане навколо цього квадрата, якщо радіус вписаного в квадрат кола

Valentin

17

Давайте решим эту задачу! Перед нами стоит задача найти длину стороны квадрата и радиус описанного вокруг него круга, если радиус вписанного в квадрат круга равен \( r \).

Чтобы найти длину стороны квадрата, обратимся к свойству вписанного в квадрат круга. Известно, что радиус вписанного круга равен половине длины диагонали квадрата. Пусть длина стороны квадрата будет \( a \). Тогда длина диагонали будет равна \( \sqrt{2}a \). Поделив это значение на 2, получим выражение для радиуса вписанного круга:

\[ r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

Теперь у нас есть выражение для радиуса вписанного в квадрат круга. Но задача требует найти длину стороны квадрата и радиус описанного вокруг него круга. Чтобы найти радиус описанного круга, обратимся к другому свойству: радиус описанного круга равен половине длины стороны квадрата. Таким образом, мы получаем следующее выражение:

\[ R = \frac{a}{2} \]

где \( R \) - радиус описанного круга.

Теперь у нас есть две формулы:

\[ r = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

\[ R = \frac{a}{2} \]

Мы можем использовать эти формулы, чтобы найти длину стороны квадрата и радиус описанного вокруг него круга.

Для этого возьмем уравнение радиуса вписанного круга и из него выразим \( a \):

\[ a = \frac{2r}{\sqrt{2}} \]

Подставим это значение в уравнение радиуса описанного круга:

\[ R = \frac{2r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \]

Упростим выражение, умножив и сократив коэффициенты:

\[ R = \frac{r}{\sqrt{2}} \]

Теперь у нас есть выражения для длины стороны квадрата и радиуса описанного вокруг него круга:

\[ a = \frac{2r}{\sqrt{2}} \]

\[ R = \frac{r}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, длина стороны квадрата равна \( \frac{2r}{\sqrt{2}} \), а радиус описанного вокруг круга равен \( \frac{r}{\sqrt{2}} \).