Яка довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди, якщо її апофема дорівнює 5 см і площа бічної поверхні

Drakon

57

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые формулы для нахождения длины стороны основания правильной четырехугольной пирамиды. Давайте приступим к решению.

Шаг 1: Поиск высоты пирамиды
У нас есть информация об апофеме (радиус вписанного в основание пирамиды окружности). Мы можем использовать апофему для нахождения высоты пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде, апофема проходит через середину боковых граней пирамиды и перпендикулярна им. Это означает, что линия, соединяющая апофему с вершиной пирамиды, является высотой пирамиды.

Мы можем использовать формулу для нахождения высоты пирамиды по апофеме:

\[h = \sqrt{a^2 - r^2}\]

где \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - длина стороны основания пирамиды, \(r\) - радиус апофемы.

Подставим известные значения:

\[h = \sqrt{a^2 - 5^2}\]

Шаг 2: Нахождение площади боковой поверхности пирамиды
У нас также есть информация о площади боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

\[S_{бок} = P \cdot h\]

где \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(P\) - периметр основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде, площадь боковой поверхности можно выразить через длину стороны основания:

\[S_{бок} = 4 \cdot a \cdot h\]

Подставим известные значения:

\[4 \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - 5^2} = 80\]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Мы получили квадратное уравнение, которое нужно решить для нахождения значения длины стороны основания пирамиды:

\[4a \cdot \sqrt{a^2 - 5^2} = 80\]

Для этого уравнения нет простого аналитического решения, поэтому мы воспользуемся численными методами для его решения.

Найдем численным методом площадь огранки (площадь основания пирамиды), так как площадь боковой поверхности - это кратность площади огранки и дано, что площадь боковой поверхности = 80 см^2, значит площадь огранки (правила) = (80/4) \[= 20 \, см^2\]

\[a^2 = 20\]

Устойчивый корень а = 2, а -2 не берем, так как а это длина стороны, в нашем случае не может быть отрицательным

Таким образом, длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см.