Examination № 5 (7th grade) on the topic Right triangle. Constructing a triangle by three elements Variant 1 Given
Examination № 5 (7th grade) on the topic "Right triangle. Constructing a triangle by three elements" Variant 1 Given: ∠ B = ∠ C = 90°, AB = CD (Figure 1). Prove: ∠ 1 = ∠ 2. In the acute triangle MNP, the angle bisector of angle M intersects the height NK at point O, such that OK = 9 cm. Find the distance OH from point O to the line MN. Construct a right triangle with the hypotenuse and acute angle. 4*. Using a compass and ruler, construct an angle equal to 105°. Examination № 5 (7th grade) on the topic "Right triangle. Constructing a triangle by three elements" (Chapter IV, sections 34-38) Variant.
Solnechnyy_Feniks 51
Решение задачи:1. Дано: \(\angle B = \angle C = 90^\circ\), \(AB = CD\) (Рисунок 1).
Требуется доказать: \(\angle 1 = \angle 2\).
Доказательство:
Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Так как угол B и угол C являются прямыми углами, то треугольник ABC является прямоугольным.
Далее, по условию задачи, сторона AB равна стороне CD. На основании свойства равных сторон прямоугольного треугольника, получаем, что сторона AC равна стороне BC.
Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным (два катета равны).
Теперь рассмотрим треугольник ADE, где AD и AE - это высота и биссектриса треугольника ABC, соответственно.
Заметим, что высота и биссектриса, опущенные из одной вершины, делят противолежащий угол пополам. Следовательно, \(\angle 1 = \angle 2\).
Таким образом, мы доказали, что \(\angle 1 = \angle 2\).
2. В остроугольном треугольнике MNP, биссектриса угла M пересекается с высотой NK в точке O, причем OK = 9 см. Найдите расстояние OH от точки O до линии MN.
Решение:
Для нахождения расстояния OH воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.
Заметим, что биссектриса угла M делит основание NP на две отрезка, пропорциональных длинам смежных сторон MN и MP. То есть:
\(\frac{{NO}}{{ON}} = \frac{{MN}}{{MP}}\).
Так как треугольник MNP является остроугольным, то точка O находится между точками N и P.
Поскольку OK = 9 см, является известной длиной отрезка KM, который равен сумме отрезков MN и NP. То есть:
KM = MN + NP.
Подставим данную информацию в соотношение о пропорциональности:
\(\frac{{KM - MO}}{{MO}} = \frac{{MN}}{{MP}}\).
Теперь найдем расстояние OH:
OH = KM - MO.
Заметим, что расстояние MO также можно выразить через данную информацию:
MO = \(\frac{{MN}}{{MP}}\) * MO.
Подставив это значение для MO в выражение для OH, получим окончательную формулу:
OH = KM - \(\frac{{MN}}{{MP}}\) * MO.
3. Построение прямоугольного треугольника с гипотенузой и острым углом.
Для построения такого треугольника необходимо выполнить следующие шаги:
1) Нарисуйте отрезок AB - гипотенузу треугольника.
2) Возьмите точку C на отрезке AB - это будет точка вершины острого угла.
3) Рисуем отрезок CD, перпендикулярный AB, проходящий через точку C.
4) Получаем треугольник ABC, где угол CAB является острым углом, а углы ABC и BAC прямые углы.
4. Построение угла, равного 105°.
Для построения угла, равного 105° необходимо выполнить следующие шаги:
1) Возьмите отрезок AB.
2) С центром в точке A и радиусом, большим половины отрезка AB, постройте дугу, пересекающую отрезок AB в точке C.
3) Затем, с центром в точке C и тем же радиусом, постройте дугу внутри углан аподобным образом, чтобы пересечь первую дугу в точке D.
4) Отрезок AD будет искомым углом, равным 105°.
Данные по заданию:
Экзаменационный билет № 5, 7 класс, по теме "Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трём элементам". (Глава IV, разделы 34-38).