Яка довжина тіла циліндра, якщо під кутом 45 градусів його осьовий переріз утворює діагональ довжиною 12 см? Яку площу

Dimon

10

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические и тригонометрические знания. Давайте начнем с определения основных характеристик цилиндра.

Цилиндр представляет собой трехмерное геометрическое тело, которое состоит из двух параллельных плоскостей, называемых основаниями, и боковой поверхности, которая представляет собой поверхность без вершин и ребер, ограниченную этими основаниями. В данной задаче мы будем работать с боковой поверхностью цилиндра.

Для начала найдем длину осевого перереза цилиндра. По условию, он образует диагональ длиной 12 см под углом 45 градусов. Для нахождения длины осевого перереза мы можем использовать теорему Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенузой является диагональ, а катетами являются радиусы оснований цилиндра. Поскольку цилиндр имеет два основания, радиусы должны быть одинаковыми.

Мы можем обозначить радиус основания цилиндра как \(r\). Тогда по теореме Пифагора получим следующее уравнение:

\[r^2 + r^2 = 12^2\]

Упростим это уравнение:

\[2r^2 = 144\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[r^2 = 72\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[r = \sqrt{72}\]

\[r \approx 8.485\]

Теперь, когда мы знаем радиус основания цилиндра, можем перейти к нахождению боковой поверхности.

Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна образующей, а ширина равна длине осевого перереза. Длина осевого перереза равна окружности, образующей тела цилиндра. Длина окружности \(C\) равна произведению диаметра на число \(\pi\). В нашем случае, диаметр равен удвоенному радиусу.

Давайте найдем длину окружности:

\[d = 2r\]

\[d = 2 \cdot 8.485\]

\[d \approx 16.970\]

Теперь найдем длину боковой поверхности цилиндра:

\[S_{бок} = C \cdot h\]

\[S_{бок} = 16.970 \cdot 12\]

\[S_{бок} \approx 203.64\]

Таким образом, длина осевого перереза цилиндра составляет около 16.970 см (с точностью до трех знаков после запятой), а площадь боковой поверхности равна примерно 203.64 квадратных сантиметра (с точностью до двух знаков после запятой).