Яка кількість повної механічної енергії коливань для вантажу масою 400 г, що коливається на пружині жорсткістю

Ten

45

Перед тем как приступить к решению задачи, давайте сначала разберемся в том, что такое механическая энергия колебаний и как ее вычислить.

Механическая энергия колебаний - это сумма кинетической и потенциальной энергии колеблющейся системы. В данной задаче система состоит из вантажа, который колеблется на пружине.

Кинетическая энергия колеблющегося предмета определяется формулой:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]
где \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса вантажа и \(v\) - скорость.

Потенциальная энергия колеблющегося предмета, связанная с его положением относительно положения равновесия, определяется формулой:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]
где \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия, \(k\) - жесткость пружины и \(x\) - амплитуда колебаний.

Сумма кинетической и потенциальной энергии равна полной механической энергии колеблющегося предмета:
\[E_{\text{мех}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}}\]

Теперь, когда мы знаем формулы, мы можем приступить к решению задачи.

Для начала, давайте найдем массу вантажа в килограммах. Мы можем перевести массу из граммов в килограммы, разделив на 1000:
\[m = \frac{400}{1000} = 0.4\, \text{кг}\]

Теперь найдем потенциальную энергию колебаний:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]
где \(k = 250 \, \text{Н/м}\) - жесткость пружины и \(x = 15 \, \text{см}\) - амплитуда колебаний.

Переведем амплитуду колебаний в метры, разделив на 100:
\[x = \frac{15}{100} = 0.15 \, \text{м}\]

Теперь можем вычислить потенциальную энергию:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \times 250 \times (0.15^2)\]

Далее, найдем кинетическую энергию колебаний:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]
где \(m = 0.4 \, \text{кг}\) - масса вантажа.

Так как в задаче не указана скорость вантажа, мы не можем найти кинетическую энергию. Однако, мы можем найти максимальную скорость руха вантажа. Максимальная скорость руха достигается в точке положения равновесия и равна скорости, при которой потенциальная энергия колебаний полностью переходит в кинетическую энергию.

Так как полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, мы можем записать:
\[E_{\text{мех}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}}\]

При максимальной скорости руха, потенциальная энергия равна нулю, поэтому полная механическая энергия равна кинетической энергии:
\[E_{\text{мех}} = E_{\text{кин}}\]

Теперь мы можем записать уравнение:
\[E_{\text{мех}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times v^2\]

Подставим значение жесткости пружины:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \times 250 \times (0.15^2)\]

Теперь приравняем кинетическую энергию и потенциальную энергию и решим уравнение относительно скорости \(v\):
\[\frac{1}{2} \times 0.4 \times v^2 = \frac{1}{2} \times 250 \times (0.15^2)\]

Домножим значения в скобках и дальше решим уравнение:
\[0.4 \times v^2 = 0.5 \times 250 \times 0.0225\]
\[v^2 = \frac{0.5 \times 250 \times 0.0225}{0.4}\]
\[v^2 = 2.8125\]
\[v = \sqrt{2.8125}\]

Округлим значение до двух десятичных знаков:
\[v \approx 1.68 \, \text{м/с}\]

Таким образом, максимальная скорость руха вантажа составляет примерно 1.68 м/c.