Яка може бути кількість різних компаній, які можуть скласти групу охорони, якщо 11 осіб з вищою освітою та 20 осіб

Морской_Сказочник

18

Для розв"язання цієї задачі використаємо комбінаторику та принцип включень та виключень. Оскільки нам потрібно визначити кількість різних компаній, які можуть скласти групу охорони, спершу розглянемо всі можливі варіанти складу групи.

Існує \(\binom{31}{4}\) способів вибрати 4 працівників із загальної кількості працівників, які відгукнулися на оголошення, тобто 31 особа. Але з цих 31 особи вже заздалегідь відомо, що 11 мають вищу освіту, а 20 мають середню. Тому, для складання групи охорони, нам потрібно врахувати тільки цю інформацію.

Запишемо можливі варіанти за кількістю працівників з вищою освітою:
1. 2 працівників з вищою освітою і 2 працівники з середньою освітою.
2. 3 працівників з вищою освітою і 1 працівник з середньою освітою.
3. 4 працівників з вищою освітою і 0 працівників з середньою освітою.

Давайте розглянемо кожен варіант окремо.

1. Для першого варіанту потрібно вибрати 2 працівників з 11 працівників з вищою освітою, тобто \(\binom{11}{2}\) способів. Потім потрібно вибрати 2 з 20 працівників з середньою освітою, тобто \(\binom{20}{2}\) способи. Оскільки ці 4 працівники можуть бути вибрані в будь-якому порядку, потрібно перемножити ці два числа.

\[ \binom{11}{2} \cdot \binom{20}{2} \]

2. Для другого варіанту потрібно вибрати 3 працівників з вищою освітою, тобто \(\binom{11}{3}\) способи. Потім потрібно вибрати 1 з 20 працівників з середньою освітою, тобто \(\binom{20}{1}\) спосіб. Перемножимо ці два числа.

\[ \binom{11}{3} \cdot \binom{20}{1} \]

3. Для третього варіанту потрібно вибрати 4 працівників з вищою освітою, тобто \(\binom{11}{4}\) способів. Оскільки немає працівників з середньою освітою, не потрібно вибирати жодного працівника з 20 осіб з середньою освітою. Тому цей варіант має лише одну можливість.

\[ \binom{11}{4} \cdot \binom{20}{0} = \binom{11}{4} \cdot 1 \]

Остаточна відповідь буде сумою всіх цих варіантів:

\[ \binom{11}{2} \cdot \binom{20}{2} + \binom{11}{3} \cdot \binom{20}{1} + \binom{11}{4} \cdot 1 \]

Застосуємо формули і обчислимо значення.

\[ \binom{11}{2} = \frac{11!}{2! \cdot (11 - 2)!} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55 \]

\[ \binom{20}{2} = \frac{20!}{2! \cdot (20 - 2)!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 \]

\[ \binom{11}{3} = \frac{11!}{3! \cdot (11 - 3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165 \]

\[ \binom{20}{1} = \frac{20!}{1! \cdot (20 - 1)!} = \frac{20}{1} = 20 \]

\[ \binom{11}{4} = \frac{11!}{4! \cdot (11 - 4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330 \]

Підставимо ці значення у формулу для обчислення кількості різних компаній:

\[ 55 \cdot 190 + 165 \cdot 20 + 330 \cdot 1 \]

\[ 10450 + 3300 + 330 \]

\[ 14080 \]

Отже, можлива кількість різних компаній, які можуть скласти групу охорони, складає 14080.