Яка необхідна початкова швидкість, щоб кинути м яч вертикально вгору, так щоб через 8 секунд він падав вниз

Магнитный_Зомби

51

Задача заключается в том, чтобы найти начальную скорость, с которой мяч должен быть брошен вверх, чтобы через 8 секунд он начал падать вниз со скоростью 20 м/с.

Давайте начнем с того, что мы знаем о движении тела в вертикальном направлении. Вертикальное движение можно разделить на две фазы: фазу взлета и фазу падения. В фазе взлета мяч движется вверх, а в фазе падения - вниз.

В фазе взлета мяч замедляется, его вертикальная скорость уменьшается в результате действия силы тяжести. В фазе падения мяч ускоряется, его вертикальная скорость увеличивается в результате действия силы тяжести.

Момент, когда мяч достигает самой высокой точки своего движения, называется вершиной его траектории. На этой точке его вертикальная скорость равна нулю. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти начальную скорость мяча.

Давайте предположим, что начальная скорость мяча равна \(v_0\) м/с. Заметим, что мяч будет подчиняться закону сохранения энергии. Это означает, что сумма его кинетической (движения) и потенциальной (высоты) энергии будет постоянной на всей траектории.

В момент броска, у мяча есть только кинетическая энергия, поскольку он находится на самом низком уровне траектории. Na момент падения, у мяча есть только потенциальная энергия, поскольку он находится на самом высоком уровне траектории.

Кинетическая энергия мяча: \[E_k = \frac{1}{2} m v_0^2,\] где \(m\) - масса мяча.
Потенциальная энергия мяча: \[E_p = mgh,\] где \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно \(9.8 \, \text{м/с}^2\)) и \(h\) - высота наивысшей точки траектории.

Найдем \(h\) используя уравнение движения мяча в его фазе падения: \[h = \frac{1}{2} g t^2,\]
где \(t\) - время, через которое мяч достигает наивысшей точки (в данном случае \(t = 8 \, \text{сек}\)).

Подставим эти значения в уравнение сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} m v_0^2 = mgh.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(v_0\):
\[v_0 = \sqrt{2gh}.\]

Подставим значения для \(g\) и \(h\):
\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (8 \, \text{сек})^2\right)}.\]

Выполняя расчеты, мы получаем, что начальная скорость мяча должна быть примерно равна 78.4 м/с.

Таким образом, чтобы бросить мяч вертикально вверх так, чтобы через 8 секунд он падал вниз со скоростью 20 м/с, нужно бросить его со скоростью около 78.4 м/с.