Каковы площадь и периметр ромба с диагоналями 4 и 5 см? Задан прямоугольная трапеция АВСК, где ВС - большая боковая

Skvoz_Pyl

4

Чтобы найти площадь и периметр ромба с заданными диагоналями 4 и 5 см, воспользуемся следующими формулами:

Площадь ромба (\(S\)) можно найти, используя формулу:
\[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2},\]
где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей ромба.

Периметр ромба (\(P\)) может быть найден путем умножения длины любой стороны ромба на 4:
\[P = a \cdot 4,\]
где \(a\) - длина одной стороны ромба.

Теперь рассмотрим заданную прямоугольную трапецию АВСК. Угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Мы хотим найти, что трапеция измеряет, верно?

Для начала, обратим внимание, что трапеция ABCD состоит из двух прямоугольных треугольников и прямоугольника.

Первым шагом рассмотрим один из прямоугольных треугольников, например, треугольник ABC. В этом треугольнике у нас есть известная сторона BC, равная 5 см (так как ВС - большая боковая сторона равна 5 см), и угол C, равный 45°. Мы хотим найти высоту CN, которая делит основание АК пополам.

Мы можем воспользоваться тригонометрической функцией тангенс (тан) для вычисления высоты CN. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\[\tan(45) = \frac{{CN}}{{BC}}.\]
Мы знаем, что тангенс 45° равен 1. Таким образом, мы получаем:
\[1 = \frac{{CN}}{{5}}.\]

Решая это уравнение, мы можем найти высоту CN:
\[CN = 5.\]

Теперь рассмотрим прямоугольник AKCH. У нас есть длина основания AK, которая равна двукратной длине CN (так как высота СН делит основание АК пополам). Следовательно, AK равно 2 * 5 = 10 см.

Теперь, обратимся к ромбу. У нас есть диагонали ромба, и мы хотим найти его площадь и периметр.

Используя формулу для площади ромба, подставим значения диагоналей:
\[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2} = \frac{{4 \cdot 5}}{2} = 10\, \text{см}^2.\]

Чтобы найти периметр ромба, нам нужно знать длину одной из его сторон. Воспользуемся тем фактом, что в ромбе все стороны равны.

Мы можем найти длину одной из сторон ромба, используя теорему Пифагора на одном из треугольников, созданных диагоналями ромба.

Пусть \(a\) - длина стороны ромба. Используя теорему Пифагора в треугольнике с диагоналями 4 и 5 см, получим:
\[a^2 = \left(\frac{{d_1}{2}}\right)^2 + \left(\frac{{d_2}{2}}\right)^2 = 2^2 + 2.5^2 = 4 + 12.5 = 16.5.\]
\[\Rightarrow a = \sqrt{16.5} \approx 4.06\, \text{см}.\]

Таким образом, периметр ромба равен:
\[P = a \cdot 4 = 4.06 \cdot 4 \approx 16.24\, \text{см}.\]

Итак, площадь ромба с диагоналями 4 и 5 см составляет 10 квадратных сантиметров, а его периметр равен примерно 16.24 сантиметра.