Яка є площа фігури, на якій координати точок задовольняють нерівність 3|x|+4|y|

Летучий_Фотограф_4599

30

Для решения данной задачи нам потребуется знание геометрии и работы с модулями чисел.

Дана неравенство: 3|x| + 4|y|

Чтобы понять, какую фигуру описывает эта неравенство, рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1. 3|x| описывает прямую линию, проходящую через начало координат (0,0) и образованную из-за модуля. То есть прямая идет через начало координат как при положительных, так и при отрицательных значениях x.

2. 4|y| аналогично описывает прямую линию, проходящую через начало координат и идущую через него при положительных и отрицательных значениях y.

Теперь давайте объединим эти два условия вместе, чтобы найти область, которую они описывают.

Для этого нам нужно учесть, что в неравенстве используются модули. Помните, что модуль числа всегда дает неотрицательное число. То есть, значение |x| всегда будет неотрицательным.

Вспомним, что неравенство 3|x| + 4|y| у нас присутствует. Посмотрим на коэффициенты перед модулями. 3 умножается на |x|, а 4 умножается на |y|. То есть для |x| нужно рассмотреть два случая: x >=0 и x < 0. Аналогично для |y| - два случая: y >= 0 и y < 0.

Теперь давайте построим график каждого из этих случаев, вместе смогем получить фигуру, которую описывает неравенство 3|x| + 4|y|.

Для случая x >= 0 и y >= 0, у нас получается следующий график:
\[y = -3/4 x\]

Для случая x < 0 и y >= 0, у нас получается следующий график:
\[y = 3/4 x\]

Для случая x < 0 и y < 0, у нас получается следующий график:
\[y = -3/4 x\]

Для случая x >= 0 и y < 0, у нас получается следующий график:
\[y = 3/4 x\]

Объединяя все эти графики вместе, мы получаем фигуру в форме креста, состоящую из двух прямых, которые проходят через начало координат, с углами в первом и третьем квадранта.

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы должны знать длину и ширину каждой из ее частей. Но так как прямые проходят через начало координат, то площадь в каждом квадранте будет одинаковой.

Таким образом, площадь всей фигуры равна площади одного квадранта, умноженной на 4.

Давайте вычислим площадь одного квадранта. Рассмотрим квадрант, где значения x и y положительны.

Рассмотрим точки пересечения двух прямых:
1. Когда y = -3/4 x, x = -4y/3
2. Когда y = 3/4 x, x = 4y/3

Теперь мы можем найти площадь одного квадранта, проведя интегрирование:

\[S = \int_{0}^{(4y/3)} (-3/4 x) dx + \int_{0}^{(4y/3)} (3/4 x) dx\]

Вычислим первое интеграл:

\[\int_{0}^{(4y/3)} (-3/4 x) dx = \left[(-3/4)*(x^2/2)\right]_{0}^{(4y/3)} = \left[-(3/4)*(16y^2/9) + 0\right] = -(4/3)y^2\]

Теперь вычислим второе интеграл:

\[\int_{0}^{(4y/3)} (3/4 x) dx = \left[(3/4)*(x^2/2)\right]_{0}^{(4y/3)} = \left[(3/4)*(16y^2/9) + 0\right] = (4/3)y^2\]

Таким образом, площадь одного квадранта равна (4/3)y^2 - (4/3)y^2 = 0.

Учитывая, что фигура симметрична относительно осей, площадь всей фигуры также будет равна 0.

Таким образом, площадь фигуры, на которой координаты точек удовлетворяют неравнеству 3|x| + 4|y|, равна 0.