Яка площа перерізу кулі знаходиться на відстані 4 см від її центра, якщо відрізок, що з єднує центр кулі з точкою

Ledyanoy_Vzryv

65

Дано: Радіус кулі \( r \) = ?, Відстань до центра перерізу \( d \) = 4 см, Кут між відрізком і площиною перерізу \( \alpha \) = 30°

Щоб знайти площу перерізу кулі, спочатку нам потрібно знайти радіус кулі. Запишемо відомі дані:

\( OB = r \) - радіус кулі,
\( OA = d \) - відстань до центра перерізу,
\( \angle BOA = \alpha \) - кут, що утворюється між площиною перерізу і відрізком, що його з"єднує з центром кулі.

Також за формулою косинусів:

\[ \cos(\alpha) = \frac{OA}{OB} \]

Ми маємо \( \cos(30°) = \frac{4}{r} \). Розкриваємо косинус 30°:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{r} \]

Знаходимо \( r \):

\[ r = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ r = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
\[ r = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

Тепер, коли ми знаємо радіус кулі, можемо знайти площу перерізу.

Площа перерізу кулі дорівнює площі кола, радіус якого дорівнює \( r \).

Формула площі кола: \( S = \pi r^2 \)

Підставляємо значення радіуса \( r = \frac{8\sqrt{3}}{3} \):

\[ S = \pi \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 \]
\[ S = \pi \cdot \frac{64 \cdot 3}{9} \]
\[ S = \pi \cdot \frac{192}{9} \]
\[ S = \frac{64\pi}{3} \]

Отже, площа перерізу кулі становить \( \frac{64\pi}{3} \) квадратних сантиметри.