Яка площа трикутника, якщо трикутники ABC і DEF подібні, АВ = 2 см, DE = 5 см, а площа трикутника АВС дорівнює 12 см²?

Magicheskiy_Feniks

66

Чтобы найти площадь треугольника DEF, нам понадобится знать соотношение между сторонами треугольников ABC и DEF.

Поскольку треугольники ABC и DEF подобны, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Вы можете записать это как:

\[\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\]

Известно, что AB = 2 см и DE = 5 см. Подставим эти значения в уравнение пропорции:

\[\frac{2}{5} = \frac{BC}{EF}\]

Теперь, чтобы найти отношение между сторонами BC и EF, мы можем перекрестно умножить:

\(2 \cdot EF = 5 \cdot BC\)

Теперь давайте рассмотрим площадь треугольника ABC. Известно, что площадь треугольника ABC равна 12 см².

Формула для площади треугольника - это половина произведения длины основания треугольника на его высоту.

Пусть BC - основание треугольника ABC, а h - его высота.

Тогда мы можем записать:

\[12 = \frac{BC \cdot h}{2}\]

Чтобы найти BC, выразим его через h:

\[BC = \frac{24}{h}\]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение, связывающее стороны треугольников ABC и DEF:

\(2 \cdot EF = 5 \cdot \frac{24}{h}\)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (EF).

Чтобы найти EF, раскроем скобки:

\(2 \cdot EF = \frac{120}{h}\)

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента перед EF:

\[EF = \frac{60}{h}\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника DEF, нам нужно знать длину основания EF и высоту треугольника.

Основание EF равно 5 см, поэтому остается найти только высоту.

Из уравнения выше можно выразить высоту h:

\[h = \frac{60}{EF}\]

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для площади треугольника DEF:

\[Площадь треугольника\ DEF = \frac{EF \cdot \frac{60}{EF}}{2} = \frac{60}{2} = 30 \ см^2\]

Таким образом, площадь треугольника DEF равна 30 квадратных сантиметров.