Яка є сума всіх натуральних чисел, менших або рівних певному значенню, кратних

Zagadochnyy_Kot

49

Пошаговое решение:

Давайте вначале определим, что значит "кратное". Число \(a\) называется кратным числа \(b\), если \(a\) можно получить умножением числа \(b\) на натуральное число. В нашем случае, мы ищем сумму всех натуральных чисел, которые меньше или равны некоторому числу \(n\) и кратны числу \(k\). Обозначим эту сумму как \(S\).

Теперь давайте посмотрим на первые несколько натуральных чисел, кратных числу \(k\):

\(k, 2k, 3k, 4k, 5k, ...\)

Общий вид этой последовательности можно записать как \(nk\), где \(n\) - натуральное число.

Теперь давайте найдем количество таких чисел, меньших или равных \(n\). Для этого мы можем разделить \(n\) на \(k\) и округлить результат вниз, чтобы получить число натуральных чисел, кратных \(k\), меньших или равных \(n\). Обозначим это значение как \(m\).

Теперь мы можем записать первые \(m\) чисел в последовательности как \(k, 2k, 3k, ..., mk\).

Для нахождения суммы всех этих чисел, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{{m \cdot (k + mk)}}{2}\]

Теперь, зная \(m\) и \(k\), мы можем вычислить искомую сумму всех натуральных чисел, меньших или равных \(n\), кратных \(k\).

Пример:

Предположим, что нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, меньших или равных 25 и кратных 5.

Сначала найдем значение \(m\), представляющее количество натуральных чисел, кратных 5 и меньших или равных 25:

\[m = \left\lfloor \frac{{25}}{5} \right\rfloor = \left\lfloor 5 \right\rfloor = 5\]

Теперь мы можем использовать значение \(m\) и \(k\) для вычисления суммы всех этих чисел:

\[S = \frac{{5 \cdot (5 + 5 \cdot 5)}}{2} = \frac{{5 \cdot 30}}{2} = \frac{{150}}{2} = 75\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 25 и кратных 5, равна 75.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.