Яка відстань між точкою K та вершинами квадрата ABCD зі стороною 15 см, через які проведена пряма, перпендикулярна

Magicheskiy_Kot

56

Щоб знайти відстань між точкою K і вершинами квадрата ABCD, нам потрібно з"ясувати, через які з вершин ця пряма проходить. Дано, що пряма є перпендикулярною площині квадрата, і відрізок OK має довжину 12 см.

Спочатку, давайте знайдемо координати точки K.

Оскільки пряма, на якій лежить відрізок OK, є перпендикулярною до площини квадрата, то ми можемо припустити, що вона проходить через середину діагоналі AB.

Позначимо середину діагоналі AB як точку M. Оскільки квадрат ABCD має сторону 15 см, то точка M буде розташована на відстані 15/2 = 7.5 см від кожної з вершин A і B.

Таким чином, координати точки M будуть (7.5, 7.5).

Тепер ми маємо відрізок OK довжиною 12 см. Позначимо його координати як (x, y).

Знаючи, що точка K лежить на прямій, проходячій через точку M і перпендикулярній до площини квадрата, ми можемо записати рівняння прямої.

Використовуючи формулу середньої точки, ми можемо знайти координати точки K як (\(\frac{{7.5 + x}}{2}\), \(\frac{{7.5 + y}}{2}\)).

За умовою, довжина відрізка OK становить 12 см. Використовуючи теорему Піфагора, ми можемо записати рівняння:

\(\sqrt{(\frac{{7.5 + x}}{2})^2 + (\frac{{7.5 + y}}{2})^2} = 12\)

Тепер, ми повинні знайти такі значення x і y, які задовольняють цьому рівнянню. Наведу розв"язок відносно x:

\((\frac{{7.5 + x}}{2})^2 + (\frac{{7.5 + y}}{2})^2 = 12^2\)

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

\(\frac{{(7.5 + x)^2 + (7.5 + y)^2}}{4} = 144\)

Множимо обидві частини на 4:

\((7.5 + x)^2 + (7.5 + y)^2 = 576\)

Розкриваємо квадрати:

\(7.5^2 + 2 \cdot 7.5 \cdot x + x^2 + 7.5^2 + 2 \cdot 7.5 \cdot y + y^2 = 576\)

Спрощуємо:

\(112.5 + 15x + x^2 + 112.5 + 15y + y^2 = 576\)

Комбінуємо подібні терміни:

\(x^2 + y^2 + 15x + 15y + 225 = 576\)

Переносимо 576 на ліву сторону:

\(x^2 + y^2 + 15x + 15y - 351 = 0\)

Отримуємо квадратне рівняння відносно x та y. Це рівняння можна розв"язати, але оскільки нам потрібне значення лише відстані між точкою K і вершинами квадрата, необхідно використовувати числові методи для знаходження розв"язку.

Отримавши розв"язок x та y, ми можемо знайти відстань між точкою K та вершинами квадрата ABCD, використовуючи формулу відстані між двома точками:

\(d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\), де \((x_1, y_1)\) та \((x_2, y_2)\) - координати двох точок.

Отриманий результат округлюємо до однієї десятої.