Яка є відстань від вершини в трьохкутника ВСА до площини, яка утворює кут 30° з площиною трикутника ВСА, якщо площина

Светлый_Ангел

57

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку важливо розібратися з умовою і зобразити схему.

Ми маємо прямокутний трикутник ВСА, де ВС - катет, а кут ВСА дорівнює 90°. Площина а проходить через катет ВС, утворюючи кут 30° з площиною трикутника ВСА.

Давайте спочатку побудуємо схему:

\[
\begin{array}{c}
A\\
|\\
|\\
|\\
\downarrow\\
----B----C\\
\end{array}
\]

Тепер, щоб знайти відстань від вершини B до площини a, нам необхідно знайти перпендикулярну відстань від точки B до площини a. Для цього ми використовуємо формулу відстані від точки до площини, яка полягає у визначенні проекції точки на площину.

Для спрощення обчислень, ми можемо розглядати площину a у вигляді двох взаємно перпендикулярних ліній - одна проходить через точку A і паралельна стороні ВС, а інша проходить через точку B і перпендикулярна до сторони ВС. Тобто, ми розглядаємо площину, утворену сторонами ВС і проекціями їх на площину a.

Оскільки ми знаємо, що кут між площиною a і площиною трикутника ВСА дорівнює 30°, то ми маємо наступну схему:

\[
\begin{array}{c}
A\\
|\text{ }\\
|\text{ }\\
|\text{ }\\
\downarrow\text{ }\\
------B------C\\
|\text{ }\\
|\text{ }\\
|\text{ }\\
\downarrow\text{ }\nearrow\text{ }\\
\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }a
\end{array}
\]

Тепер ми можемо визначити відстань від вершини B до площини a як відстань від точки B до пунктирної прямої на схемі.

\[
\begin{array}{c}
\text{ }\\
|\\
\text{ }\\
\downarrow\\
------B----C\\
|\\
\text{ }\\
\downarrow\text{ }\nearrow\\
\text{ }\text{ }a
\end{array}
\]

Тепер, оскільки пунктирна пряма паралельна до сторони ВС, можемо побачити, що відрізок ВС перпендикулярний до пунктирної прямої.

Таким чином, відстань від вершини B до площини a дорівнює відрізку, що з"єднує вершини В та С.

Зокрема, відстань від точки B до площини a - це просто катет ВС трикутника ВСА.

Окремо знайдемо катет ВС трикутника ВСА:

Для цього оголосимо Б точкою перетину перпендикуляра до пунктирної прямої з стороною С, який проходить через точку В. Тоді треугольник В₃ВА буде прямокутним, і ми можемо використовувати теорему Піфагора: \[ ВС = \sqrt{ВА^2 - Вв_3^2} \]

Отже, ми знайшли відстань від вершини B до площини а.