Яка висота H цього циліндра, якщо діагональ основи має довжину 28 см і утворює кут 30°?

Pauk

51

Для решения этой задачи нам потребуется применить теорему Пифагора и тригонометрию. Давайте разобьем задачу на несколько шагов и посмотрим, как мы можем получить ответ.

Шаг 1: Найдем длину стороны основы цилиндра.
Из условия задачи известно, что диагональ основы цилиндра имеет длину 28 см и образует угол 30°. Обозначим длину стороны основы цилиндра как a.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов в треугольнике равна квадрату гипотенузы. Так как диагональ основы является гипотенузой, мы можем записать следующее:

\[a^2 + a^2 = 28^2\]

\[2a^2 = 28^2\]

\[a^2 = \frac{{28^2}}{{2}}\]

\[a^2 = 392\]

\[a = \sqrt{392}\]

\[a = 14\sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны основы цилиндра равна \(14\sqrt{2}\) см.

Шаг 2: Найдем высоту цилиндра.
Обозначим высоту цилиндра как Н. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения этой высоты.

Внимательно посмотрите на треугольник, образованный диагональю основы и высотой цилиндра. Мы знаем, что угол между этими двумя сторонами равен 30°, а длина одной из этих сторон равна \(14\sqrt{2}\) см.

Теперь мы можем использовать тангенс угла для нахождения высоты. Формула для тангенса угла равна отношению противоположной стороны к прилежащей. В данном случае, противоположная сторона - это высота цилиндра, а прилежащая сторона - это длина основы.

Мы можем записать следующее уравнение:

\[\tan(30°) = \frac{H}{{14\sqrt{2}}}\]

Применяя тригонометрическое соотношение для тангенса 30° (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)), мы получаем:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{{14\sqrt{2}}}\]

Умножим обе части уравнения на \(14\sqrt{2}\):

\[\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = H\]

Упростим это выражение сокращением корней:

\[14\sqrt{\frac{2}{3}} = H\]

Таким образом, высота цилиндра равна \(14\sqrt{\frac{2}{3}}\) см.

Это пошаговое решение задачи, которое поможет школьнику понять и получить ответ.