Яка висота прямої трикутної призми зі сторонами основи довжиною 5 см, 12 см і 13 см, якщо площа повної поверхні

Bulka

7

Чтобы найти высоту прямой треугольной призмы, нам понадобится использовать формулу для нахождения площади поверхности призмы. Поскольку задача дает нам площадь поверхности, мы можем использовать эту информацию для решения задачи.

Формула для площади поверхности треугольной призмы:

\[S = 2 \cdot S_\text{основы} + S_\text{боковой}\]

Где \(S_\text{основы}\) - площадь основы, а \(S_\text{боковой}\) - площадь боковой поверхности.

Найдем площадь основы. Поскольку у нас треугольная призма, основой будет прямоугольный треугольник. Можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[S_\text{основы} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]

В нашем случае, длины сторон основы соответствуют 5 см, 12 см и 13 см. Для нахождения высоты требуется знать длину стороны основания, а также площадь основания. Ну, чтобы найти площадь основания, по формуле прямоугольного треугольника, нам нужно знать его основание и высоту. Единственная информация, которую мы имеем о треугольнике, - это его стороны.

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника по длинам его сторон:

\[S_\text{треугольника} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

Где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\) и \(c\) - длины его сторон.

Полупериметр вычисляется следующим образом:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Теперь мы знаем все необходимые формулы. Давайте перейдем к решению задачи.

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Для этого вычислим полупериметр \(p\):

\[p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15\]

Теперь подставим значения в формулу Герона:

\[S_\text{треугольника} = \sqrt{15 \cdot (15 - 5) \cdot (15 - 12) \cdot (15 - 13)} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30\]

Таким образом, площадь основы равна 30 квадратных сантиметров.

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Она равна периметру основы, умноженному на высоту призмы:

\[S_\text{боковой} = (\text{периметр} \text{ основы}) \cdot (\text{высота})\]

У нас треугольная основа со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Ее периметр вычисляется следующим образом:

\[\text{периметр} \text{ основы} = 5 + 12 + 13 = 30\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[S_\text{боковой} = 30 \cdot (\text{высота})\]

3. Наконец, найдем высоту призмы, используя формулу для площади поверхности призмы:

\[S = 2 \cdot S_\text{основы} + S_\text{боковой}\]

Подставим значения:

\[270 = 2 \cdot 30 + 30 \cdot (\text{высота})\]

\[270 = 60 + 30 \cdot (\text{высота})\]

\[30 \cdot (\text{высота}) = 270 - 60 = 210\]

\[(\text{высота}) = \frac{210}{30} = 7\]

Таким образом, высота прямой треугольной призмы равна 7 сантиметров.